K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

15 tháng 7 2021

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(< =>\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right).\left(a+b\right)\ge4\)

\(< =>1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1\ge4\)

\(< =>2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge4\)(luôn đúng với mọi a,b là số thực dương)

Thật vậy có \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)(BĐT Cosi)

\(=>2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2+2=4\left(đpcm\right)\)

dấu"=" xảy ra<=>a=b

Cái này mình không sử dụng BĐT AM-GM

5 tháng 7 2021

\(\dfrac{\sqrt{a-4}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}+\dfrac{\sqrt{c-4}}{c}=\dfrac{3}{4}\) (ĐK: \(a\ge4;b\ge4;c\ge4\))

Áp dụng AM-GM có:
\(2\sqrt{4\left(a-4\right)}\le4+a-4=a\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{a-4}}{a}\le\dfrac{1}{4}\)

Tương tự cũng có: \(\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}\le\dfrac{1}{4}\);\(\dfrac{\sqrt{c-4}}{c}\le\dfrac{1}{4}\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}4=a-4\\4=b-4\\4=c-4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=8\) (tm)

Vậy...

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1

Lời giải:

PT \(\Leftrightarrow 3x^4-4x^3+(\sqrt{(x^2+1)^3}-1)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2(3x^2-4x)+(\sqrt{x^2+1}-1)(x^2+1+\sqrt{x^2+1}+1)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2(3x^2-4x)+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1}(x^2+2+\sqrt{x^2+1})=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left[3x^2-4x+\frac{x^2+2+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+1}\right]=0\)

Xét 2 TH: 

TH1: $x^2=0\Leftrightarrow x=0$ (thỏa mãn)

TH2: \(3x^2-4x+\frac{x^2+2+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+1}=0\)

Đặt $\sqrt{x^2+1}=a(a\geq 1)$ thì:

\(\frac{x^2+2+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+1}=\frac{a^2+1+a}{a+1}=a+\frac{1}{a+1}\\ =\frac{a+1}{4}+\frac{1}{a+1}+\frac{3(a+1)}{4}-1\\ \geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3(1+1)}{4}-1=\frac{3}{2}\) (áp dụng BĐT Cô-si)

\(\Rightarrow 3x^2-4x+\frac{x^2+2+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+1}\geq 3x^2-4x+\frac{3}{2}=3(x-\frac{2}{3})^2+\frac{1}{6}>0\)

Suy ra TH 2 này không thỏa mãn

Vậy $x=0$

9 tháng 8 2020

xét hiệu a3+b3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=(a+b+c)\(\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\ge0\)

đẳng thức xảy ra khi a=b=c

9 tháng 8 2020

Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)^3-3.\left(a+b\right).c.\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b\right).c-3ab\right]\)

\(=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ac-3bc-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(a+b+c\right).\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(a+b+c\right).\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}.\left(a+b+c\right).\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)( Vì a, b, c không âm )

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)( đpcm )

13 tháng 10 2017

 dễ cm bđt: x²+y² ≥ (x+y)²/2, khai triễn là ra hằng đẳng đúng, dấu "=" khi x = y 
ad: P = (x+1/x)² + (y+1/y)² ≥ [x+1/x + y+1/y]²/2 = [(x+y) + (x+y)/xy]²/2 (*) 
bđt côsi: 1 = x+y ≥ 2√(xy) => 1 ≥ 4xy => 1/xy ≥ 4 
thay vào (*): P ≥ [1 + 1/xy]²/2 ≥ [1 + 4]²/2 = 25/2 (đpcm), dấu "=" khi x = y = 1/2 

25 tháng 2 2020

Đặt \(P=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:

\(\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow2P\ge\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)(1)

Ta có BĐT:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)( bạn tự CM = cách chuyển vế nhé )

Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương x,y ta có:
\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(2P\ge25\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)

13 tháng 2 2022

TL:

Chỗ tôi được phép sử dụng luôn ko cần chứng minh

HT

13 tháng 2 2022

????

cho 1 vé báo cáo free nhé

5 tháng 8 2017

a/(b+c)+c/(a+d)=a^2+ad+c^2+bc/(a+d)(b+c)>=4(a^2+ad+c^2+bc)/(a+b+c+d)^2(BĐT 1/xy>=4/(x+y)^2

Tương tự rồi cộng lại ta có a/b+c+c/a+d+b/c+d+d/a+b>=4(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd)/(a+b+c+d)^2=A

>>>Ta sẽ chứng minh A>=1/2 hay 2(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+da)>=(a+b+c+d)^2

 tương đương với a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd>=0<<->>(a-c)^2+(b-d)^2>=0(luôn đúng)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=c và b=d

đây là Nesbit 4 số

nếu như gặp bđt Nesbit thì làm thế này:

đặt \(B=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}\)

\(C=\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}\)

\(B+C=\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}=4\)

\(A+B=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\ge4\)(theo cô si)

\(A+C=\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)

\(\Rightarrow2A+B+C\ge8\Rightarrow2A+4\ge8\Rightarrow A\ge2\)

dấu bằng khi a=b=c=d