K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 7 2021
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(< =>\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right).\left(a+b\right)\ge4\)
\(< =>1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1\ge4\)
\(< =>2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge4\)(luôn đúng với mọi a,b là số thực dương)
Thật vậy có \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)(BĐT Cosi)
\(=>2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2+2=4\left(đpcm\right)\)
dấu"=" xảy ra<=>a=b
5 tháng 7 2021
\(\dfrac{\sqrt{a-4}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}+\dfrac{\sqrt{c-4}}{c}=\dfrac{3}{4}\) (ĐK: \(a\ge4;b\ge4;c\ge4\))
Áp dụng AM-GM có:
\(2\sqrt{4\left(a-4\right)}\le4+a-4=a\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{a-4}}{a}\le\dfrac{1}{4}\)
Tương tự cũng có: \(\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}\le\dfrac{1}{4}\);\(\dfrac{\sqrt{c-4}}{c}\le\dfrac{1}{4}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}4=a-4\\4=b-4\\4=c-4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=8\) (tm)
Vậy...
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1
Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow 3x^4-4x^3+(\sqrt{(x^2+1)^3}-1)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2(3x^2-4x)+(\sqrt{x^2+1}-1)(x^2+1+\sqrt{x^2+1}+1)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2(3x^2-4x)+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1}(x^2+2+\sqrt{x^2+1})=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left[3x^2-4x+\frac{x^2+2+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+1}\right]=0\)
Xét 2 TH:
TH1: $x^2=0\Leftrightarrow x=0$ (thỏa mãn)
TH2: \(3x^2-4x+\frac{x^2+2+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+1}=0\)
Đặt $\sqrt{x^2+1}=a(a\geq 1)$ thì:
\(\frac{x^2+2+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+1}=\frac{a^2+1+a}{a+1}=a+\frac{1}{a+1}\\ =\frac{a+1}{4}+\frac{1}{a+1}+\frac{3(a+1)}{4}-1\\ \geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3(1+1)}{4}-1=\frac{3}{2}\) (áp dụng BĐT Cô-si)
\(\Rightarrow 3x^2-4x+\frac{x^2+2+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+1}\geq 3x^2-4x+\frac{3}{2}=3(x-\frac{2}{3})^2+\frac{1}{6}>0\)
Suy ra TH 2 này không thỏa mãn
Vậy $x=0$
9 tháng 8 2020
xét hiệu a3+b3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=(a+b+c)\(\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\ge0\)
đẳng thức xảy ra khi a=b=c
NN
9 tháng 8 2020
Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3.\left(a+b\right).c.\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b\right).c-3ab\right]\)
\(=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ac-3bc-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(a+b+c\right).\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(a+b+c\right).\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}.\left(a+b+c\right).\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)( Vì a, b, c không âm )
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)( đpcm )
13 tháng 10 2017
dễ cm bđt: x²+y² ≥ (x+y)²/2, khai triễn là ra hằng đẳng đúng, dấu "=" khi x = y
ad: P = (x+1/x)² + (y+1/y)² ≥ [x+1/x + y+1/y]²/2 = [(x+y) + (x+y)/xy]²/2 (*)
bđt côsi: 1 = x+y ≥ 2√(xy) => 1 ≥ 4xy => 1/xy ≥ 4
thay vào (*): P ≥ [1 + 1/xy]²/2 ≥ [1 + 4]²/2 = 25/2 (đpcm), dấu "=" khi x = y = 1/2
AD
25 tháng 2 2020
Đặt \(P=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:
\(\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow2P\ge\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)(1)
Ta có BĐT:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)( bạn tự CM = cách chuyển vế nhé )
Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương x,y ta có:
\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(2P\ge25\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)
5 tháng 8 2017
a/(b+c)+c/(a+d)=a^2+ad+c^2+bc/(a+d)(b+c)>=4(a^2+ad+c^2+bc)/(a+b+c+d)^2(BĐT 1/xy>=4/(x+y)^2
Tương tự rồi cộng lại ta có a/b+c+c/a+d+b/c+d+d/a+b>=4(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd)/(a+b+c+d)^2=A
>>>Ta sẽ chứng minh A>=1/2 hay 2(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+da)>=(a+b+c+d)^2
tương đương với a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd>=0<<->>(a-c)^2+(b-d)^2>=0(luôn đúng)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=c và b=d
6 tháng 8 2017
đây là Nesbit 4 số
nếu như gặp bđt Nesbit thì làm thế này:
đặt \(B=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}\)
\(C=\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}\)
\(B+C=\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}=4\)
\(A+B=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\ge4\)(theo cô si)
\(A+C=\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)
\(\Rightarrow2A+B+C\ge8\Rightarrow2A+4\ge8\Rightarrow A\ge2\)
dấu bằng khi a=b=c=d
Cái này mình không sử dụng BĐT AM-GM