K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LH
3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2019
Lời giải:
Do $xyz=1$ nên tồn tại $a,b,c>0$ sao cho $(x,y,z)=(\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a})$
Khi đó bài toán trở thành:
Cho $a,b,c>0$. CMR: \(2\left(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\right)-\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)}{abc}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq a^2b+b^2c+c^2a+3abc(*)\)
---------------
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^3+b^3+c^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc(1)\)
Và:
\(\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}+\frac{b^3}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{3^3}}=a^2b\)
\(\frac{b^3}{3}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^6c^3}{3^3}}=b^2c\)
\(\frac{c^3}{3}+\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^6a^3}{3^3}}=c^2a\)
Cộng theo vế và rút gọn \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a(2)\)
Lấy $(1)+(2)$ ta thu được $(*)$
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$
T
28 tháng 10 2019
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{a'}{b'};\frac{b'}{c'};\frac{c'}{a'}\right)\).Cần chứng minh:
\(2\left(\frac{a'^2}{b'c'}+\frac{b'^2}{c'a'}+\frac{c'^2}{a'b'}\right)-\left(\frac{b'}{a'}+\frac{c'}{b'}+\frac{a'}{c'}\right)\)
Đặt \(\left(\frac{a'}{b'};\frac{b'}{c'};\frac{c'}{a'}\right)=\left(a;b;c\right)\). Bây giờ bài toán trở nên dễ dàng hơn:
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng \(2\left(ab+bc+ca\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\). Rất hiển nhiên điều này đúng theo AM-GM: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\)
Ta có điều phải chứng minh.
Is that true? Nếu nó đúng, em nghĩ bài này mấu chốt là nhìn ra cách đặt đầu tiên, và một chút may mắn:)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2020
1.
\(x^2+y^2+z^2\ge2xy+2yz-2zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y+z\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x+z=y\)
2.
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 6 2020
\(x^{2013}+x^{2013}+1+1+...+1\ge2011\sqrt[2013]{x^{2013}.x^{2013}}=2011.x^2\) (2011 số 1)
Tương tự: \(2y^{2013}+2011\ge2013y^2\) ; \(2z^{2013}+2011\ge2013z^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}\right)+6033\ge2013\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)
\(M_{max}=3\) khi \(x=y=z=1\)
23 tháng 5 2016
1) ( x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với mọi x;y;z Vì (x-y)2 0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 2) chứng minh rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quát 3) Chứng minh (m,n,p,q ta đều có m+ n+ p+ q+1( m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi 4) Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh5) Chứng minh rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 6) cho x.y =1 và x>y Chứng minh Giải: vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh7) 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (
Text
NN
1
14 tháng 5 2017
ta có: x2 + y2 + z2 \(\ge\) 2x - 2y - 2z
<=> 2(x2 + y2 + z2) \(\ge\) 4x + 4y + 4z
<=> 2(x - 1)2 + 2(y - 1)2 + 2(z - 1)2 \(\ge\) 0 \(\forall\) x,y,z
dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y = z = 1
VN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 2 2020
\(VT=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 7 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương $x,y,z$ ta có:
$(\sqrt{3}-1)^2x^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)xy$
$(\sqrt{3}-1)^2z^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)yz$
$2(\sqrt{3}-1)x^2+2(\sqrt{3}-1)z^2\geq 4(\sqrt{3}-1)xz$
Cộng theo vế và thu gọn:
2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(\sqrt{3}-1)(xy+yz+2xz)$
$\Rightarrow P=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+2xz}\geq \sqrt{3}-1$
Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}-1$ khi $(\sqrt{3}-1)x=(\sqrt{3}-1)z=y$
CT
cho a,b,c>0 thỏa x2+y2+z2=1.tìm gtnn của P=\(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 10 2019
\(P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(2x\ge3\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}x^4\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}x-1\right)^2\left(\sqrt{3}x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) ; \(\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)
Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
bài này là >=nhé bạn
Áp dụng bđt AM-GM:
\(x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xy^2z\)
\(y^2z^2+x^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^2z^4}=2xyz^2\)
\(x^2z^2+x^2y^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2x^2yz\)
cộng theo vế và rút gọn
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x+y+z}\ge xyz\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z\)