Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài này là >=nhé bạn
Áp dụng bđt AM-GM:
\(x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xy^2z\)
\(y^2z^2+x^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^2z^4}=2xyz^2\)
\(x^2z^2+x^2y^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2x^2yz\)
cộng theo vế và rút gọn
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x+y+z}\ge xyz\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z\)
cho a,b,c>0 thỏa x2+y2+z2=1.tìm gtnn của P=\(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)
\(P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(2x\ge3\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}x^4\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}x-1\right)^2\left(\sqrt{3}x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) ; \(\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)
Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\ge2x^3+2y^3+2z^3=2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
Text
\(VT=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương $x,y,z$ ta có:
$(\sqrt{3}-1)^2x^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)xy$
$(\sqrt{3}-1)^2z^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)yz$
$2(\sqrt{3}-1)x^2+2(\sqrt{3}-1)z^2\geq 4(\sqrt{3}-1)xz$
Cộng theo vế và thu gọn:
2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(\sqrt{3}-1)(xy+yz+2xz)$
$\Rightarrow P=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+2xz}\geq \sqrt{3}-1$
Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}-1$ khi $(\sqrt{3}-1)x=(\sqrt{3}-1)z=y$
\(x^{2013}+x^{2013}+1+1+...+1\ge2011\sqrt[2013]{x^{2013}.x^{2013}}=2011.x^2\) (2011 số 1)
Tương tự: \(2y^{2013}+2011\ge2013y^2\) ; \(2z^{2013}+2011\ge2013z^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}\right)+6033\ge2013\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)
\(M_{max}=3\) khi \(x=y=z=1\)