Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Dễ dàng chứng minh được:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\)
Khi đó ta được bất đẳng thức:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Vậy ta cần chứng minh:
\(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge28\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge4\)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2\)
Để hoàn thành chứng minh ta cần chỉ ra được:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge2\)
Theo bất đẳng thức Cauchy thì bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng.
Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại \(a=b=c\)
Ta có: \(y=4x^3-x^4=x^3\left(4-x\right)=x.x.x.\left(4-x\right)\).
Vì vậy: \(3y=x.x.x.\left(12-4x\right)\).
Với \(0\le x\le4\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\12-4x\ge0\end{matrix}\right.\).
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho bốn số: x,x,x, 12 - 3x ta có:
\(x.x.x.\left(12-3x\right)\le\left(\dfrac{x+x+x+12-3x}{4}\right)^4=81\).
Dấu bằng xảy ra khi: \(x=12-3x\)\(\Leftrightarrow4x=12\)\(\Leftrightarrow x=3\).
Như vậy: \(3y\le81\) \(\Leftrightarrow y\le27\) nên max của y bằng 27 khi x = 3.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:
\(a+1\ge2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
Nhân vế theo vế các BĐT cùng chiều trên ta được:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16\sqrt{a^2b^2c^2}=16abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=a\\b=c\end{matrix}\right.\)
<=> a = b = c = 1
Vậy \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16abc\) với a,b,c dương.
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b}{b}}=2a\\b^2c+\dfrac{1}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{b^2c}{c}}=2b\\c^2a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c^2a}{a}}=2c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge a+b+c\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(y=\dfrac{4\left(x+1-1\right)}{x}+\dfrac{9\left(x+1-x\right)}{1-x}\)
\(=4+9+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+9\dfrac{x}{1-x}\ge13+2\sqrt{4\dfrac{\left(1-x\right)}{x}.9\dfrac{x}{1-x}}=25\)
\(\Rightarrow y\ge25,\forall x\in\left(0;1\right)\)
Đẳng thức \(y=25\) xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}=\dfrac{9x}{1-x}=6\\x\in\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\)
Hay \(x=\dfrac{2}{5}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đặt tại \(x=\dfrac{2}{5}\)
Đoạn đầu bạn đã biến đổi nhầm một chút nhé:
\(y=\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{1-x}=\dfrac{4\left(x+1-x\right)}{x}+\dfrac{9\left(1-x+x\right)}{1-x}=4+9+4.\dfrac{1-x}{x}+9.\dfrac{x}{1-x}\)
luôn đúng theo câu a
, với O là điểm tùy ý
- Áp dụng BĐT Bunhia- Cốp xki ta có:
\(\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-1+5-x\right)\)\(=2.4=8\).
Suy ra: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\le2\sqrt{2}\).
Vậy max \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=2\sqrt{2}\) khi:
\(\sqrt{x-1}=\sqrt{5-x}\)\(\Leftrightarrow x-1=5-x\)\(\Leftrightarrow x=3\).
- Ta có: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\ge\sqrt{x-1+5-x}=\sqrt{4}=2\).
Vậy GTNN của \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=2\) khi:
\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\5-x=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\).
Đáp án B