Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f\left(x\right)-\left(x+1\right)f'\left(x\right)=2x.f^2\left(x\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)-\left(x+1\right)f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=2x\)
\(\Rightarrow\left[\dfrac{x+1}{f\left(x\right)}\right]'=2x\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\dfrac{x+1}{f\left(x\right)}=\int2xdx=x^2+C\)
Thay \(x=1\Rightarrow\dfrac{2}{f\left(1\right)}=1+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x^2}\Rightarrow\int\limits^2_1\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)dx=\left(lnx-\dfrac{1}{x}\right)|^2_1=ln2+\dfrac{1}{2}\)
Chọn A.
Ta có ∫ 1 4 f ' ( x ) d x = f ( 4 ) - f ( 1 ) ⇒ f ( 4 ) = f ( 1 ) + 17 = 29
\(f\left(x\right)+g\left(x\right)=-x\left[f'\left(x\right)+g'\left(x\right)\right]\)
Đặt \(h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h\left(1\right)=4\\h\left(x\right)=-x.h'\left(x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{h'\left(x\right)}{h\left(x\right)}=-\frac{1}{x}\Rightarrow\int\frac{h'\left(x\right)}{h\left(x\right)}dx=-\int\frac{dx}{x}=-lnx\)
\(\Rightarrow ln\left[h\left(x\right)\right]=ln\left(\frac{1}{x}\right)+C\)
Thay \(x=1\Rightarrow C=ln4\Rightarrow ln\left[h\left(x\right)\right]=ln\left(\frac{1}{x}\right)+ln4=ln\left(\frac{4}{x}\right)\)
\(\Rightarrow h\left(x\right)=\frac{4}{x}\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^4_1h\left(x\right)dx=\int\limits^4_1\frac{4}{x}dx=...\)
cho em hỏi tại sao h(x) =\(\frac{4}{x}\) mà ko phải là |h(x)| vậy ạ?
Bạn coi lại đề bài, có gì đó không ổn
Thay \(x=1\) vào \(g\left(x\right)=-x.f\left(x\right)\) \(\Rightarrow g\left(1\right)=-f\left(1\right)\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)+g\left(1\right)=0\) trái với điều kiện \(f\left(1\right)+g\left(1\right)=4\)????
dạ em viết nhầm, phải là g(x)=-xf'(x) f(x)=-xg'(x) mới đúng
Câu 6:
Hoành độ giao điểm: \(\sqrt{1-x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm1\)
\(\Rightarrow V=\pi\int\limits^1_{-1}\left(1-x^2\right)dx=\frac{4}{3}\pi\)
// Hoặc là tư duy theo 1 cách khác, biến đổi pt ban đầu ta có:
\(y=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow y^2=1-x^2\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
Đây là pt đường tròn tâm O bán kính \(R=1\Rightarrow\) khi quay quanh Ox ta sẽ được một mặt cầu bán kính \(R=1\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\)
Câu 7: Về bản chất, đây là 1 con tích phân sai, không thể tính được, do trên miền \(\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]\) hàm dưới dấu tích phân không xác định tại \(x=\frac{\pi}{3}\) và \(x=\frac{2\pi}{3}\), nhưng nhắm mắt làm ngơ với lỗi ra đề sai đó và ta cứ mặc kệ nó, không quan tâm cứ máy móc áp dụng thì tính như sau:
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân 1 chút trước:
\(\frac{sin^2x}{sin3x}=\frac{sin^2x}{3sinx-4sin^3x}=\frac{sinx}{3-4sin^2x}=\frac{sinx}{3-4\left(1-cos^2x\right)}=\frac{sinx}{4cos^2x-1}\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{sinx.dx}{4cos^2x-1}\Rightarrow\) đặt \(cosx=t\Rightarrow sinx.dx=-dt\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^0_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{-dt}{4t^2-1}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\frac{dt}{\left(2t-1\right)\left(2t+1\right)}=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\left(\frac{1}{2t-1}-\frac{1}{2t+1}\right)dt\)
\(I=\frac{1}{4}ln\left|\frac{2t-1}{2t+1}\right|^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0=\frac{1}{4}ln\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right)=\frac{1}{4}ln\left(2-\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+2b+3c=5\)
Câu 8:
\(f\left(x\right)=\int\frac{1}{2x-1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+C\)
\(f\left(1\right)=1\Leftrightarrow\frac{1}{2}ln1+C=1\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+1\Rightarrow f\left(5\right)=\frac{1}{2}ln9+1=ln3+1\)
Câu 4:
\(I=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn \(\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(-x\right)\) \(\forall x\)
Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow t=1\\x=0\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_1f\left(t\right).\left(-dt\right)=\int\limits^1_0f\left(t\right)dt=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=1\)
Câu 5: Theo tính chất tích phân ta có:
\(\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^6_2f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx=\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx-\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=7-3=4\)
\(I_1=\int\limits^2_0f\left(2x\right)dx\)
Đặt \(2x=t\Rightarrow dx=\frac{dt}{2}\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=2\Rightarrow t=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\int\limits^4_0f\left(t\right).\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int\limits^4_0f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\int\limits^4_0f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}.2018=1009\)
\(I_2=\int\limits^2_{-2}f\left(2-x\right)dx\)
Đặt \(2-x=t\Rightarrow dx=-dt\); \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\Rightarrow t=4\\x=2\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_2=\int\limits^0_4f\left(t\right).\left(-dt\right)=\int\limits^4_0f\left(t\right)dt=\int\limits^4_0f\left(x\right)dx=2018\)
\(\Rightarrow I=I_1+I_2=1009+2018=3027\)
Khi gặp dạng này, ý tưởng là sẽ tìm 1 hàm u(x) sao cho:
\(\int\limits^b_a\left[f'\left(x\right)-u\left(x\right)\right]^2dx=0\) (1)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-u\left(x\right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=u\left(x\right)\)
Khai triển (1), đề cho sẵn \(\left[f'\left(x\right)\right]^2\) nên đại lượng \(2u\left(x\right).f'\left(x\right)\) và hàm \(u\left(x\right)\) sẽ được suy ra từ việc tích phân từng phần \(\int\limits f\left(x\right)dx\). Cụ thể:
Xét \(I=\dfrac{2}{3}=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^2_0-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\) (2)
(Vậy đến đây hàm \(u\left(x\right)\) được xác định là dạng \(u\left(x\right)=k.x\)
Để tìm cụ thể giá trị k:
Từ (1) ta suy luận tiếp:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-kx\right]^2dx=0\Leftrightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-2k\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^2_0k^2x^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}-2k.\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}k^2=0\) do \(\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{8}{3}\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\) coi như xong bài toán)
Do đó ta có:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)+\dfrac{1}{4}\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{8}{3}=0\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x\right]^2dx=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2+C\)
Thay \(x=2\Rightarrow1=1+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2\)
Theo tính chất của tích phân:
\(\int\limits^4_1f'\left(x\right)dx=f\left(4\right)-f\left(1\right)\Rightarrow f\left(4\right)-f\left(1\right)=17\)
\(\Rightarrow f\left(4\right)=f\left(1\right)+17=-12+17=5\)