Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Rightarrow8a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2=4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Rightarrow8a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae=0\)
\(\Rightarrow4a^2+\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)\)
\(+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)=0\)
\(\Rightarrow4a^2+\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2=0\) (1)
Vì \(4a^2\ge0;\left(a-2b\right)^2\ge0;\left(a-2c\right)^2\ge0;\left(a-2d\right)^2\ge0;\left(a-2e\right)^2\ge0\)
với mọi a,b,c,d,e
=> (1) xảy ra \(\Leftrightarrow4a^2=0;\left(a-2b\right)^2=0;\left(a-2c\right)^2=0;\left(a-2d\right)^2=0;\left(a-2e\right)^2=0\)(2)
\(\Rightarrow a=0\) \(\Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(0-2b\right)^2=0\\\left(0-2c\right)^2=0\\\left(0-2d\right)^2=0\\\left(0-2e\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0-2b=0\\0-2c=0\\0-2d=0\\0-2e=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=0\\2c=0\\2d=0\\2e=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=0\\c=0\\d=0\\e=0\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d=e=0\)
Vậy a=b=c=d=e=0
\(2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae=0\)
Nhân 2 với hai vế của đẳng thức, ta có:
\(4a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2e^2-2ab-2ac-2ad-2ae=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(a^2-2ae+e^2\right)+\left(b^2+c^2+d^2+e^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(a-e\right)^2+\left(b^2+c^2+d^2+e^2\right)=0\)
Ta gọi biểu thức trên là *
Do \(\left(a-b\right)^2\ge0\) ;
\(\left(a-c\right)^2\ge0\);
\(\left(a-d\right)^2\ge0\);
\(\left(a-e\right)^2\ge0\);
\(\left(b^2+c^2+d^2+e^2\right)\ge0\);
Do các phép tính trên đều là phép cộng, phép trừ
Mà kết quả lại bằng 0
Nên * xảy ra khi a-b=0; a-c=0; a-d=0; a-e=0
và b+c+d+e=0
Mà các số giống nhau hiệu = 0 =>a=b=c=d=e(**)
và các số dương cộng lại bằng 0 =>b,c,d.e=0(***)
Từ (**) và ( ***)=> a=b=c=d=0(dpcm)
\(a,\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Do đó \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(đpcm)
Các câu sau tương tự
Đặt \(A=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\)
\(\Leftrightarrow4A=\left(a^2+4b^2\right)+\left(a^2+4c^2\right)+\left(a^2+4d^2\right)+\left(a^2+4e^2\right)\)
\(\Rightarrow4A\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Rightarrow A\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Vậy.......
Áp dụng x2+y2>=2xy Ta có:
a2/4+b2>=ab
a2/4+c2>=ac
a2/4+d2>=ad
a2/4+e2>=ae
=> a2+b2+c2+d2+e2>=a(b+c+d+e)
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 \(\ge\) a(b+c+d+e)
Xét: 4(a2+b2+c2+d2+e2) - 4(ab+ac+ad+ae)
= 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae
= (a2+4b2-4ab) + (a2+4c2-4ac) + (a2+4d2-4ad) + (a2+4e2-4ae)
= (a-2b)2 + (a-2c)2 + (a-2d)2 + (a-2e)2 \(\ge\) 0
=> 4(a2+b2+c2+d2+e2) \(\ge\) 4(ab+ac+ad+ae)
=> a2+b2+c2+d2+e2 \(\ge\) ab + ac + ad + ae
Nguyễn Huy Tú38GP
Hồng Phúc Nguyễn34GP
Akai Haruma33GP
Mysterious Person
Nguyễn Nhã Hiếu15GP
๖ۣۜĐặng♥๖ۣۜQuý13GP
Đoàn Đức Hiếu11GP
Trần Thọ Đạt
Nguyễn Đình Dũng
a)
\(a^4+3>4a\)
<=> \(a^4-4a+3>0\)
<=> \(a^4-a^3+a^3-a^2+a^2-a-3a+3>0\)
<=> \(a^3\left(a-1\right)+a^2\left(a-1\right)+a\left(a-1\right)-3\left(a-1\right)\)
<=> \(\left(a-1\right)\left(a^3+a^2+a-3\right)>0\)
2) \(a^2+b^2=c^2+d^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=\left(c+d\right)^2-2cd\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(c+d\right)^2=2\left(ab-cd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+d\right)\left(a+b-c-d\right)=2\left(ab-cd\right)\)
Ta có \(\left(a+b+c+d\right)+\left(a+b-c-d\right)=2\left(a+b\right)\) là số chẵn
\(\Rightarrow\) \(\left(a+b+c+d\right)\) và \(\left(a+b-c-d\right)\) có cùng tính chẵn lẻ
Mặt khác \(\left(a+b+c+d\right)\left(a+b-c-d\right)=2\left(ab-cd\right)\) chia hết cho 2
Nên \(\left(a+b+c+d\right)\) và \(\left(a+b-c-d\right)\) ko thể cùng lẻ
\(\Rightarrow\) \(\left(a+b+c+d\right)\) và \(\left(a+b-c-d\right)\) cùng chẵn
Mà \(a+b+c+d>2\) nên \(a+b+c+d\) là hợp số.
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\ge0\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{2}-b\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-c\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-d\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-e\right)^2\ge0\) (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\dfrac{a}{2}=b=c=d=e\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a.\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
a2+b2+c2+d2+e2 ≥ a(b+c+d+e)
⇔a2+b2+c2+d2+e2−ab−ac−ad−ae ≥ 0
⇔4a2+4b2+4c2+4d2+4e2−4ab−4ac−4ad−4ae ≥ 0
⇔(a2−4ab+4b2)+(a2−4ac+4c2).....≥0
⇔(a−2b)2+(a−2c)2...≥0
