0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KK
12 tháng 5 2017
a) Áp dụng bất đẳng thức Schur với \(r=1\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2b+ca^2-a^3+ab^2+b^2c-b^3+c^2a+bc^2-c^3\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2\left(b+c-a\right)+b^2\left(a+c-b\right)+c^2\left(a+b-c\right)\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+b+b\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{b^2}.b^2}=3a\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{c^2}+c+c\ge3b\\\dfrac{c^3}{a^2}+a+a\ge3c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}+2\left(a+b+c\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
c) Ta có \(abc=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}=\dfrac{1}{a+c+2\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}\right]\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\right]\\\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) ( 1 )
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{16}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{16}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{b+2c+3a}+\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{3}{16}\) ( đpcm )
TT
0
NT
0
HK
0
T
6 tháng 9 2019
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)