Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(2730\equiv0\left(mod7\right)\Rightarrow1730^{10}\equiv0\left(mod7\right)\left(1\right)\)
\(927309\equiv5\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow927309^{10^2}\equiv5^{10^2}\left(mod7\right)\)
Mà \(5^6\equiv1\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow5^{100}=5^{96}.5^4\equiv5^4\equiv2\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow927309^{10^2}\equiv2\left(mod7\right)\left(2\right)\)
Ta lại có: \(27309\equiv2\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow27309^{10^n}\equiv2^{10^n}\left(mod7\right)\)
Mà \(2^{10^n}=2.2^{10^n-1}\equiv2\left(mod7\right)\left(3\right)\)
Từ (1), (2), (3) ta có
\(A=\left(2730^{10}+927309^{10^2}+27309^{10^3}+...+27309^{10^{10}}\right)\equiv\left(0+2+2+...+2\right)\equiv18\equiv4\left(mod7\right)\)
Vậy số dư của A cho 7 là 4
bạn ơi cho mk hỏi đoạn này là sao ak ?
2.210^n-1 đồng dư với 2(mod7)
Xét \(A=a^{2024}-a^{2020}=a^{2020}\left(a^4-1\right)\)
- Chứng minh A chia hết cho 2:
+) Nếu a lẻ thì \(a-1\)chẵn nên A chia hết cho 2
+) Nếu a chẵn thì \(a^{2020}\)chẵn nên A chia hết cho 2
- Chứng minh A chia hết cho 3:
+) Nếu a chia hết cho 3 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
+) Nếu a không chia hết cho 3 thì \(a^2\equiv1\)(mod 3) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 3). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
- Chứng minh A chia hết cho 5:
+) Nếu a chia hết cho 5 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 5 nên a chia hết cho 5
+) Nếu a không chia hết cho 5 thì \(a^2\equiv1,4\)(mod 5) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 5). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5
Từ đây ta có A chia hết cho 2, 3, 5 vậy A chia hết cho 30 \(\Rightarrow a^{2024}\equiv a^{2020}\)(mod 30)
\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\equiv a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\equiv7\)(mod 30)
Vậy \(a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\)chia 30 dư 7
* Ta c/m: \(x^5-x⋮30\forall x\in Z\)
+ \(x^5-x=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)
\(=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)
Vì \(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮5\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮30\) ( do 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau ) (1)
+ \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮2\\\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮6\) ( do \(\left(2,3\right)=1\) )
\(\Rightarrow5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Trở lại bài toán ta có:
\(P-M=a^{2019}\left(a^5-a\right)+b^{2019}\left(b^5-b\right)+c^{2019}\left(c^5-c\right)⋮30\)
( do \(a^5-a⋮30,b^5-b⋮30,c^5-c⋮30\) )
=> P và M có cùng số dư khi chia 30
=> P chia 30 dư 7
Đặt K = 23 + 24 + 25 + ... + 2100
K = 4 + (23 + 24 + 25) + ......... + (297 + 298 + 299 + 2100)
<=> K = 4 + (8 + 16 + 32) + ... + (1.5845633e+29) +( 3.1691265e+29 ) + (6.338253e+29) + (1.2676506e+30)
<=>K = 4 + 56 + ... + (1.5845633e+29) +( 3.1691265e+29 ) + (6.338253e+29) + (1.2676506e+30)
<=>K = 60 + ... + (1.5845633e+29) +( 3.1691265e+29 ) + (6.338253e+29) + (1.2676506e+30)
<=> K = 60 + ... + 2.3768449e+30
<=> K = 2.3768449e+30 + ... + 60 + r
=> r = 1.1789905e+27
=> r = 1
Đ/s:
Ps: Không chắc đâu nhé! Nhưng dù sao giúp bạn là mình vui rồi!
C= 2535301200456458802993406410744
1116 là kết quả của mk
đúng ko sai
Lời giải:
Ta thấy: \(27309\equiv 2\pmod 7\)
\(\Rightarrow A\equiv 2^{10}+2^{20}+2^{30}+...+2^{100}\pmod 7\)
Lại có:
\(2^3\equiv 1\pmod 7\)
\(\Rightarrow 2^{10}=(2^3)^3.2\equiv 1^3.2\equiv 2\pmod 7\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{20}\equiv 2^2\pmod 7\\ 2^{30}\equiv 2^3\pmod 7\\ ......\\ 2^{100}\equiv 2^{10}\pmod 7\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(A\equiv 2+2^2+..+2^{10}\pmod 7\)
\(A\equiv 2(1+2+2^2)+2^4(1+2+2^2)+2^7(1+2+2^2)+2^{10}\pmod 7\)
\(A\equiv 2.7+2^4.7+2^7.7+2^{10}\pmod 7\)
\(A\equiv 2^{10}\equiv 2\pmod 7\)
Vậy $A$ chia $7$ dư $2$