Question

[Chi Khánh]

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C ). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:

   a) Chứng minh các điểm A,B,N,M  cùng thuộc một đường tròn.

   b) NM là tia phân giác của góc ∠ANI .

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Gọi O là trung điểm của MC

=>O là tâm đường tròn đường kính MC

Xét (O) có

ΔCNM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCNM vuông tại N

=>MN\(\perp\)NC tại N

=>MN\(\perp\)CB tại N

Xét tứ giác ABNM có \(\widehat{MNB}+\widehat{MAB}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABNM là tứ giác nội tiếp

=>A,B,N,M cùng thuộc một đường tròn

b: ABNM là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{ABM}\)

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{ABI}\)(1)

Xét tứ giác CIAB có \(\widehat{CIB}=\widehat{CAB}=90^0\)

nên CIAB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)

mà \(\widehat{ACI}=\widehat{MCI}=\widehat{MNI}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}\right)\)

nên \(\widehat{ABI}=\widehat{MNI}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MNI}=\widehat{MNA}\)

=>NM là phân giác của góc ANI