TT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
14 tháng 8 2019
\(b,n^2\left(n^4-1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\)
Ta có:\(n^2-1;n^2;n^2+1\) là 3 số nghuyên liên tiếp
\(\Rightarrow n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)⋮60\)
\(\Rightarrowđpcm\)
=>
24 tháng 1 2022
\(n\left(n^2-1\right)\left(n^2+6\right)\\=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+10\right) \\ =n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì n-2, n-1, n, n+1, n+2 là 5 số nguyên liến tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết 3, 1 số chia hết 5
Mà (2,3,5)=1\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3.5=30\)
Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liến tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết 3
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\Rightarrow10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3.10=30\)
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+10n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮30\)
Vậy ...
26 tháng 7 2020
Sửa đề: Chứng minh \(\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)-\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right)=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)
Ta có: \(VT=\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)-\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right)\)
\(=\left(\sqrt{4+2\cdot2\cdot\sqrt{3}+3}+\sqrt{5-2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}+3}\right)-\left(\sqrt{5+2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}+3}-\sqrt{4-2\cdot2\cdot\sqrt{3}+3}\right)\)
\(=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}\)
\(=\left|2+\sqrt{3}\right|+\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|-\left|\sqrt{5}+\sqrt{3}\right|+\left|2-\sqrt{3}\right|\)
\(=\left(2+\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)\)
\(=2+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}+2-\sqrt{3}\)
\(=4-2\sqrt{3}\)
\(=3-2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1\)
\(=\left(\sqrt{3}-1\right)^2=VP\)(đpcm)
E
1 tháng 11 2018
Ta có: \(2\equiv-1\left(mod 3\right)\Rightarrow2^n\equiv\left(-1\right)^n\left(mod3\right)\)
Vì n là số tự nhiên nên n có dạng 2k hoặc 2k + 1 (k là số tự nhiên)
+) Nếu n có dạng 2k \(\Rightarrow2^n\equiv\left(-1\right)^n\equiv\left(-1\right)^{2k}\equiv\left[\left(-1\right)^2\right]^k\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2^n-1\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow2^n-1⋮3\Rightarrow A⋮3\)
Nếu n có dạng 2k + 1 \(\Rightarrow2^n\equiv\left(-1\right)^{2k+1}\equiv\left(-1\right)^{2k}.\left(-1\right)\equiv-1\left(mod3\right)\Rightarrow2^n+1\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow2^n+1⋮3\Rightarrow A⋮3\)
12 tháng 6 2017
Đặt A =\(\frac{3}{5}.\left(\frac{5}{9.14}+\frac{5}{14.19}+...+\frac{5}{\left(5n-1\right).\left(5n+4\right)}\right)\)
= \(\frac{3}{5}.\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{14}+\frac{1}{14}-\frac{1}{19}+...+\frac{1}{5n-1}-\frac{1}{5n+4}\right)\)
= \(\frac{3}{5}.\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{5n+4}\right)\)
= \(\frac{3}{5}.\frac{1}{9}-\frac{3}{5}.\frac{1}{5n+4}=\frac{1}{15}-\frac{3}{5.\left(5n+4\right)}< \frac{1}{15}\)( ĐPCM )
12 tháng 6 2017
\(\frac{3}{9.14}+\frac{3}{14.19}+\frac{3}{19.24}+....+\frac{3}{\left(5n+1\right)\left(5n+4\right)}\)
\(=\frac{3}{5}\left(\frac{5}{9.14}+\frac{5}{14.19}+\frac{5}{19.24}+....+\frac{5}{\left(5n+1\right)\left(5n+4\right)}\right)\)
\(=\frac{3}{5}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{14}+\frac{1}{14}-\frac{1}{19}+....+\frac{1}{5n+1}-\frac{1}{5n+4}\right)\)
\(=\frac{3}{5}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{5n+4}\right)\)
\(=\frac{1}{15}-\frac{3}{5\left(5n+4\right)}< \frac{1}{15}\) (đpcm)
LX
chứng minh đẳng thức:\(\left(4+\sqrt{15}\right).\left(\sqrt{10}\sqrt{6}\right)\sqrt{4-\sqrt{15}=2}\)
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 9 2023
Lời giải:
$(4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}$
$=(4+\sqrt{15})(\sqrt{5}-\sqrt{3})\sqrt{8-2\sqrt{15}}$
$=(4+\sqrt{15})(\sqrt{5}-\sqrt{3})\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}$
$=(4+\sqrt{15})(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$
$=(4+\sqrt{15})(8-2\sqrt{15})=2(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})$
$=2(4^2-15)=2$ (đpcm)
\(4-\sqrt{15}=\frac{1}{4+\sqrt{15}}\)
Đặt \(t=4+\sqrt{15}\)
Ta chứng minh \(t^n+\frac{1}{t^n}\in N\text{ (*) }\forall n\in N\text{*}.\)
\(+n=1:\text{ }t+\frac{1}{t}=4+\sqrt{15}+4-\sqrt{15}=8\in N\)
\(+n=2:\text{ }t^2+\frac{1}{t^2}=\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2\in N\)
Giả sử (*) đúng với n = k-1 và n = k, tức là \(t^{k-1}+\frac{1}{t^{k-1}}\in N;\text{ }t^k+\frac{1}{t^k}\in N\).
Ta chứng minh (*) đúng với n = k+1.
Thật vậy, ta có: \(\left(t+\frac{1}{t}\right)\left(t^k+\frac{1}{t^k}\right)\in N\Rightarrow t^{k+1}+\frac{1}{t^{k+1}}+t^{k-1}+\frac{1}{t^{k-1}}\in N\)
\(\Rightarrow t^{k+1}+\frac{1}{t^{k+1}}\in N\text{ }\left(do\text{ }t^{k-1}+\frac{1}{t^{k-1}}\in N\right)\)
Vậy theo nguyên lý quy nạp, (*) đúng với mọi số tự nhiên n.
Làm tương tự như trên, ta cũng chứng minh được \(t^n+\frac{1}{t^n}\text{ }\vdots\text{ }2\text{ }\forall n\in N\text{*}\)