Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề phải cho x,y,z ; a,b,c >0 chứ bạn ơi
Xét A = (a^2/x + b^2/y + c^2/z) . (x+y+z) = [(a/\(\sqrt{x}\))^2+(b/\(\sqrt{y}\))^2+(c/\(\sqrt{z}\))^2 . (\(\sqrt{x}\)2 + \(\sqrt{y}\)2 + \(\sqrt{z}\)2)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có :
A >= (a/\(\sqrt{x}\).\(\sqrt{x}\)+b/\(\sqrt{y}\).\(\sqrt{y}\)+c/\(\sqrt{z}\).\(\sqrt{z}\))^2 = (a+b+c)^2
=> a^2/x + b^2/y + c^2/z >= (a+b+c)^2/x+y+z
=> ĐPCM
k mk nha
Nhầm chỗ \(\sqrt{z}\)2 nha . đó là \(\sqrt{z}\)2
k mk nha
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Dễ thấy:
\(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Do đó:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)
2)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
theo yêu cầu của bạn thì đến đâ mk làm theo cách này
ÁP Dụng cô si ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)
cách 2
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\ge0\)(*)
+Nếu x,y cùng dấu: \(\frac{x}{y}>0,\frac{y}{x}>0\) Áp dụng côsi: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0;\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1>0\)
Suy ra (*) đúng => bất đẳng thức đã cho đúng.
+Nếu x,y khác dấu: \(\frac{x}{y}
Làm như bạn Mr Lazy cũng được nhưng hơi dài dòng. Sau đây mình xin trình bày cách này ngắn gọn hơn một chút
Ta đặt \(t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow\left|t\right|=\left|\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|+\left|\frac{b}{a}\right|\ge2\sqrt{\left|\frac{a}{b}\right|.\left|\frac{b}{a}\right|}=2\)
\(\Rightarrow t^2=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=t^2-2\)\(\rightarrow\)Ta cần chứng minh BĐT \(t^2-2+4\ge3t\) Hay \(t^2+2\ge3t\left(1\right)\)
Thật vậy.
\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2-3t+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\)
Xét TH1 \(t\ge2\)
\(\Rightarrow\begin{cases}t-2\ge0\\t-1>0\end{cases}\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\Rightarrow\)BĐT luôn đúng
Xét TH2 \(t\le-2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-1< 0\\t-2< 0\end{cases}\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)>0\Rightarrow}\)BĐT luôn đúng
+) \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(1)
+) \(x^2-2xy+y^2\ge0\forall x;y\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+4xy\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)(2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)(đpcm)