Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(sina.cosa\le\frac{1}{2}\left(sin^2a+cos^2a\right)=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" có xảy ra khi \(sina=cosa=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\Leftrightarrow\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\)\(\Leftrightarrow\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\)(luôn đúng)
\(\frac{\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2-\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cdot\cos\alpha-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}\)
\(=\frac{4\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}=4\)(đpcm)
a: \(\sin^2a+\cos^2a=1\)
\(\Leftrightarrow\cos^2a=1-\sin^2a=\left(1-\sin a\right)\left(1+\sin a\right)\)
hay \(\dfrac{\cos a}{1-\sin a}=\dfrac{1+\sin a}{\cos a}\)
b: \(VT=\dfrac{\left(\sin a+\cos a+\sin a-\cos a\right)\left(\sin a+\cos a-\sin a+\cos a\right)}{\sin a\cdot\cos a}\)
\(=\dfrac{2\cdot\cos a\cdot2\sin a}{\sin a\cdot\cos a}=4\)
Lời giải:
a) \(\cot ^2a+1=\left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)^2+1=\frac{\cos ^2a+\sin ^2a}{\sin ^2a}=\frac{1}{\sin ^2a}\)
b)
\(\tan ^2a+1=\left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)^2+1=\frac{\sin ^2a+\cos ^2a}{\cos ^2a}=\frac{1}{\cos ^2a}\)
c) Đề bài sai.
\(\sin ^4a+\cos ^2a=\sin ^2a.\sin ^2a+\cos ^2a\)
\(=\sin ^2a(1-\cos ^2a)+\cos ^2a\)
\(\sin ^2a+\cos ^2a-\sin ^2a\cos ^2a=1-\sin ^2a\cos ^2a\)
d)
\(\frac{1-4\sin ^2a\cos ^2a}{(\sin a+\cos a)^2}=\frac{1-(2\sin a\cos a)^2}{\sin ^2a+2\sin a\cos a+\cos ^2a}=\frac{(1-2\sin a\cos a)(1+2\sin a\cos a)}{1+2\sin a\cos a}\)
\(=1-2\sin a\cos a\)
e) ĐK tồn tại tan là $\cos x\neq 0$
Vì \(\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}\Rightarrow \sin a=\tan a\cos a\)
Ta có:
\(\frac{2\sin a\cos a-1}{\cos ^2a-\sin ^2a}=\frac{1-2\sin a\cos a}{\sin ^2a-\cos ^2a}=\frac{\cos ^2a+\sin ^2a-2\sin a\cos a}{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}\)
\(=\frac{(\sin a-\cos a)^2}{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}=\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}\)
\(=\frac{\tan a\cos a-\cos a}{\tan a\cos a+\cos a}=\frac{\cos a(\tan a-1)}{\cos a(\tan a+1)}\)\(=\frac{\tan a-1}{\tan a+1}\) (đpcm)
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương \(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)\(=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$ab^2-a^2b=ab(b-a)\leq a(1-a)\leq (\frac{a+1-a}{2})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
Ta có đpcm
Giá trị này đạt tại $b=1; a=\frac{1}{2}$