Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi G là điểm sao cho \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) (G là trọng tâm của tam giác ABC)
Khi đó \(G\left(2;4;3\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}\)
Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) mà \(\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right|\) bé nhất khi và chỉ khi D là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P). Khi đó vecto \(\overrightarrow{GD}\) cùng phương với vecto pháp tuyến của (P) và điểm D nằm trên mặt phẳng (P) nên ta có hệ :
\(\begin{cases}\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-3}{1}\\x+y+z-3=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được : x = 0 ;y = 2; z = 1
Vậy điểm D cần tìm là \(D\left(0;2;1\right)\)
a. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-6;-5\right)\) và \(\overrightarrow{CA}=\left(1;2;1\right)\)
Suy ra :
\(\left|\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right|=\left(\left|\begin{matrix}-6&-5\\2&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-5&1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-6\\1&2\end{matrix}\right|\right)\)
Từ đó do \(\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]\ne\overrightarrow{0}\) nên A, B, C không thẳng hàng và mặt phẳng (P) đi qua A,B,C có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]=\left(2;-3;4\right)\)
Suy ra (P) có phương trình:
\(2\left(x-3\right)-3\left(y-3\right)+4\left(z-2\right)=0\)
hay :
\(2x-3y+4z-5=0\)
b. Do \(OD=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}\) nên \(S_{\Delta ODE}\) bé nhất khi và chỉ khi \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất.
\(\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{n}=1.2.\left(-3\right)+1.4\) và\(1.2+2\left(-3+1.4-5\ne0\right)\) nên \(OD\backslash\backslash\left(P\right)\). Bởi vậy tập hợp tất cả những điểm \(E\in\left(P\right)\) sao cho \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất là OD trên mặt phẳng (P)
Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P). Khi đó d có phương trình :
\(\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\)
Gọi M là hình chiếu của O(0;0;0) trên (P). Khi đó tọa độ của M thỏa mãn hệ phương trình :
\(\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\\2x-3y+4z-5=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được : \(M\left(\frac{10}{29};\frac{-15}{29};\frac{20}{29}\right)\)
Vậy tập hợp tất cả các điểm E cần tìm là đường thẳng đi qua M, song song với OD, do đó có phương trình dạng tham số :
\(\begin{cases}x=\frac{10}{29}+t\\y=-\frac{15}{29}+2t\\z=\frac{20}{29}+t\end{cases}\) \(\left(t\in R\right)\)
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó \(I\left(2;0;2\right)\) với mọi điểm M đều có :
\(MA^2+MB^2=\overrightarrow{MA^2}+\overrightarrow{MB^2}\)
\(=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2\)
\(=2MI^2+\left(IA^2+IB^2\right)=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\)
Do đó \(M\in\left(P\right)\) sao cho \(MA^2+MB^2\) bé nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P). Khi đó ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y+z-6=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-2}{1}\end{cases}\)
Giải hệ thu được :
\(x=\frac{8}{3};y=\frac{2}{3};z=\frac{8}{3}\)
Vậy điểm M cần tìm là \(M\left(\frac{8}{3};\frac{2}{3};\frac{8}{3}\right)\)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{p}=\left(1;1;1\right)\), ta có A' là hình chiếu của A trên (P) khi và chỉ khi \(\begin{cases}A'\in\left(P\right)\\AA'\perp\left(P\right)\end{cases}\)
Gọi \(A'\left(x;y;z\right)\) là hình chiếu của A trên (P). Khi đó, ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y+z-3=0\\\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}\end{cases}\)
Giải hệ thu được :
\(z=-\frac{2}{3};x=\frac{4}{3};y=\frac{7}{3}\)
Vậy A' cần tìm là \(A'\left(\frac{4}{7};\frac{7}{3};-\frac{2}{3}\right)\)
Nếu A" là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) thì A' là trung điểm của AA". Từ đó suy ra \(A"\left(\frac{5}{3};\frac{8}{3};-\frac{1}{3}\right)\)
a) Gọi \(\overrightarrow{u}\left(1;-2;-1\right)\) là vectơ chỉ phương của d, giả sử \(\overrightarrow{v}\left(a;b;c\right)\) là 
Mặt phẳng gọi là (P) đi cho dễ gõ kí tự.
Thay tọa độ A; B vào (P) cho 2 kết quả cùng dấu dương \(\Rightarrow\) A và B nằm cùng phía so với (P)
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P), với điểm M bất kì thuộc (P) ta luôn có \(MA=MA'\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B\)
\(\Rightarrow MA+MB_{min}\) khi M;B;A' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng A'B và (P)
Pt tham số của đường thẳng d qua A và vuông góc (P) nhận \(\left(1;-2;0\right)\) là vtcp: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-2t\\z=-2\end{matrix}\right.\)
Gọi C là giao của d và (P) \(\Rightarrow\) tọa độ C thỏa mãn:
\(1+t-2\left(-2t\right)+11=0\Rightarrow t=-\frac{12}{5}\) \(\Rightarrow C\left(-\frac{7}{5};\frac{24}{5};-2\right)\)
C là trung điểm AA' \(\Rightarrow A'\left(-\frac{19}{5};\frac{48}{5};-2\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{A'B}=\left(\frac{24}{5};-\frac{43}{5};-3\right)=\frac{1}{5}\left(24;-43;-15\right)\)
Phương trình tham số A'B: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+24t\\y=1-43t\\z=-5-15t\end{matrix}\right.\)
Tọa độ M thỏa mãn:
\(1+24t-2\left(1-43t\right)+11=0\Rightarrow t=-\frac{1}{11}\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{13}{11};\frac{54}{11};-\frac{40}{11}\right)\)
Kết quả ko giống, bạn xem lại đề bài có ghi nhầm chỗ nào ko
a. Do \(\left(-2\right)+1-3+1=-3< 0\)
và \(4+\left(-5\right)-6+1=-6< 0\)
nên A, B ở về cùng 1 phía của mặt phẳng (P). Do đó điểm \(C\in\left(P\right)\) sao cho \(CA+CB\) nhỏ nhất chính là giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng (P), trong đó A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
Giả sử \(A'\left(x;y;z\right)\) do A' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}\frac{x-2}{2}+\frac{y+2}{2}-\frac{zx+2}{2}+1=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-1}\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(x=0;y=3;z=1\)
Do đó \(A'\left(0;3;1\right)\)
Gọi \(C\left(x;y;z\right)\) là giao điểm của A'B với (P). Khi đó tọa độ của C' thỏa mãn phương tringf của (P) và hai vecto \(\overrightarrow{A'C};\overrightarrow{A'B}\) cùng phương. Do đó, ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-3}{-5-3}=\frac{z-1}{6-1}\end{cases}\)
Từ phương trình thứ 2 suy ra \(y=-2x+3\) và \(z=\frac{5}{4}x+1\)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được \(x=\frac{3}{4}\). Từ đó tìm được \(y=\frac{3}{2}\) và \(z=\frac{31}{16}\)
Vậy điềm \(C\) cần tìm là \(C\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2};\frac{31}{16}\right)\)
b. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó \(I\left(1;-2;\frac{9}{2}\right)\) và với mọi điểm D đều có \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DI}\)
Vậy \(D\in\left(P\right):\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow\) D là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ của hình chiếu điểm I trên (P). Khi đó ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-\frac{9}{2}}{-1}\end{cases}\)
Giải hệ ta thu được :
\(x=\frac{5}{2};y=-\frac{1}{2};z=3\)
Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) sao cho \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\) có độ dài nhỏ nhất là \(D\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)\)