Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)
\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AB)
\(\widehat{AFH}=90^0\)(HF⊥AC)
Do đó: AEHF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒AH=EF(Hai đường chéo trong hình chữ nhật AEHF)
\(\Delta AEH\infty\Delta AHB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AB.AE=AH^2\)
\(\Delta AFH\infty\Delta AHC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AC.AF=AH^2\)
Do đó: \(AB.AE+AC.AF=2AH^2\)
C/m được AFHE là hình chữ nhật \(\Rightarrow AH=EF\)
Vậy \(AB.AE+AC.AF=2EF^2\)
a: Xet ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H co
góc B chung
=>ΔABC đồng dạng với ΔHBA
=>BA/BH=BC/BA
=>BA^2=BH*BC
b: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)
AH=3*4/5=2,4cm
a, Xét \(\Delta ABC\) có:
\(BC^2=\left(5a\right)^2=25a^2\)
\(AB^2+AC^2=\left(3a\right)^2+\left(4a\right)^2=9a^2+16a^2=25a^2\)
\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A ( ĐL Pytago đảo )
Xét tứ giác \(AEHF\)có
\(\widehat{EAF}=90^0\left(cmt\right)\)
\(\widehat{AEH}=90^0\left(HE\perp AB\right)\)
\(\widehat{AFH}=90^0\left(HF\perp AC\right)\)
\(\Rightarrow AEHF\)là hình chữ nhật (DHNB)
b, Xét \(\Delta AHB\), \(\widehat{AHB}=90^0,HE\perp AB\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow AH^2=AE.AB\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (1)
Xét \(\Delta AHC\), \(\widehat{AHC}=90^0,HF\perp AC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow AH^2=AF.AC\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (2)
Từ (1) (2) ta có \(AE.AB=AF.AC\)
\(\Leftrightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB\)có
\(\widehat{A}\) chung
\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AEF\infty\Delta ACB\left(c-g-c\right)\)
c, Ta có \(EH\perp AB\), \(AC\perp AB\) \(\Rightarrow EH//AC\)(từ vuông góc đến song song)
\(FH\perp AC\), \(AB\perp AC\) \(\Rightarrow FH//AB\)(từ vuông góc đén song song)
-Xét ΔBEH vg tại E có EM là trung tuyến
=> \(ME=MH=MB=\frac{1}{2}BH\)
=> Δ MEH cân tại M
=> \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\) mà \(\widehat{MHE}=\widehat{BCA}\) ( đồng vị - EH//AC)
=> \(\widehat{MEH}=\widehat{BCA}\) (1)
- Ta có: \(\widehat{HEF}=\widehat{HAF}\) (t/c HCN)
\(\widehat{HAF}+\widehat{BCA}=90^0\)
=> \(\widehat{HEF}+\widehat{BCA}=90^0\) (2)
Từ (1) và (2) =>\(\widehat{MEH}+\widehat{HEF}=90^0\) hay ME⊥EF (*)
+ Tương tự ta có: NF⊥EF (**)
Từ (*) và (**) => EM//FN => MEFN là hình thang
Mặt khác có: \(\widehat{MEF}=\widehat{EFN}=90^0\) (CMT)
=> MEFN là hình thang vuông( đpcm)
Ta có \(S_{EMNF}=\frac{1}{2}.\left(EM+FN\right).EF\)
Mà \(EM+FN=\frac{BH}{2}+\frac{CH}{2}=\frac{BH+CH}{2}=\frac{BC}{2}=\frac{5a}{2}=2,5a\)
Xét \(\Delta ABC\), \(\widehat{BAC}=90^0,AH\perp BC\)có
\(AB.AC=AH.BC\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông )
\(\Leftrightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3a.4a}{5a}=2,4a\)
\(\Rightarrow S_{EMNF}=\frac{1}{2}\times2,5a\times2,4a=3a^2\)