Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\Rightarrow x^2-4x=t^2-5\)
Pt trở thành:
\(4t=t^2-5+2m-1\)
\(\Leftrightarrow t^2-4t+2m-6=0\) (1)
Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn 1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(2m-6\right)>0\\\left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}>1\\\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-2m>0\\t_1t_2-\left(t_1+t_1\right)+1>0\\t_1+t_2>2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\2m-6-4+1>0\\4>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{2}< m< 5\)
2.
Để pt đã cho có 2 nghiệm:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\Delta'=1+4\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{8}{m-3}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-3}=-1-\sqrt{2}\\\dfrac{1}{m-3}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4-\sqrt{2}< \dfrac{11}{4}\left(loại\right)\\m=4+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
b) Theo hệ thức Vi ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{2m-2}{m}\\x_1.x_2=\dfrac{m-1}{m}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2-2m}{m}\\x_1.x_2=\dfrac{m-1}{m}\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(Q=\dfrac{1013}{x_1}+\dfrac{1013}{x_2}+1=1013\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)+1\)
\(=1013\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1.x_2}\right)+1=1013\left(\dfrac{\dfrac{2-2m}{m}}{\dfrac{m-1}{m}}\right)+1\)
\(=1013.\dfrac{-2\left(m-1\right)}{m-1}+1=-2026+1=-2025\), luôn là hằng số (đpcm)
PT có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(m^2+2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-4m^2-8\ge0\\ \Leftrightarrow8m-4\ge0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=8m-4\\ x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2m^2+8m\)
Ta có \(\left|x_1^4-x_2^4\right|=\left(x_1^2+x_2^2\right)\left|x_1-x_2\right|\left|x_1+x_2\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|x_1^4-x_2^4\right|=\left(2m^2+8m\right)\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\left|2m+2\right|\\ =8\left(m^2+4m\right)\left|m+1\right|\sqrt{2m-1}\)
Mà \(\left|x_1^4-x_2^4\right|=16m^2+64m=16\left(m^2+4m\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2+4m\right)\left|m+1\right|\sqrt{2m-1}-2\left(m^2+4m\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(m^2+4m\right)\left(\left|m+1\right|\sqrt{2m-1}-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(ktm\right)\\m=-4\left(ktm\right)\\\left|m+1\right|\sqrt{2m-1}=2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\left(2m-1\right)=4\\ \Leftrightarrow2m^3+3m^2-5=0\\ \Leftrightarrow2m^3-2m^2+5m^2-5=0\\ \Leftrightarrow2m^2\left(m-1\right)+5\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(2m^2+5m+5\right)=0\\ \Leftrightarrow m=1\left(2m^2+5m+5>0\right)\left(tm\right)\)
Vậy \(m=1\) thỏa mãn đề bài
Pt đã cho có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi:
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(-2m-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m+2>0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>-2+\sqrt{2}\\m< -2-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Phương trình có hai nghiệm
B = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) + 16 − 3 x 1 x 2
= 2 ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 + 16 − 3 x 1 x 2 = 2 ( 2 m + 2 ) 2 − 4 ( m 2 + 2 ) + 16 − 3 ( m 2 + 2 ) = 4 m 2 + 16 m + 16 − 3 ( m 2 + 2 ) = 2 m + 4 − 3 ( m 2 + 2 ) = − 3 m 2 + 2 m − 2
Xét hàm số y = − 3 m 2 + 2 m − 2 với m ≥ 1 2
Bảng biến thiên
Suy ra giá trị m a x m ≥ 1 2 y = − 7 4 khi m = 1 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là - 7 4 khi m = 1 2
Đáp án cần chọn là: B