Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Xét nửa đường tròn (O) đường kính BC có điểm N thuộc (O) => ^CNB = 900
=> ^CNE = 1800 - ^CNB = 900. Xét tứ giác CDNE có:
^CDE = ^CNE = 900 => Tứ giác CDNE nội tiếp đường tròn (đpcm).
2) Ta có điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính BC => ^CMB = 900
=> BM vuông góc CE. Xét \(\Delta\)BEC:
BM vuông góc CE; ED vuông góc BC; BM giao ED tại K => K là trực tâm \(\Delta\)BEC
=> CK vuông góc BE. Mà CN vuông góc BE (Do ^CNB = 900) => 3 điểm C;K;N thẳng hàng (đpcm).
3) Gọi giao điểm của MN với DE là H. Lấy F là trung điểm của EH. BH cắt CF tại điểm P.
Xét tứ giác CMHD: ^CMH = ^CDH = 900 => CMKD nội tiếp đường tròn => ^MCK = ^MDK (1)
Tương tự: ^NBK = ^NDK (2)
Từ (1) & (2) => ^MDK = ^NDK hay ^MDH = ^FDN
Tương tự: ^DMB = ^NMB => ^DMH = 2.^DMB (3)
Dễ thấy tứ giác BDME nội tiếp đường tròn => ^DMB = ^BED (2 góc nt chắn cung BD)
Hay ^DMB = ^NEF. Xét \(\Delta\)ENH vuông tại N: H là trung điểm EH
=> \(\Delta\)NEF cân tại F. Do ^DFN là góc ngoài \(\Delta\)NEF => ^DFN = 2.^NEF
Mà ^DMB = ^NEF (cmt) => ^DFN = 2.^DMB (4)
Từ (3) & (4) => ^DMH = ^DFN. Xét \(\Delta\)DMH và \(\Delta\)DFN:
^DMH = ^DFN ; ^MDH = ^FDN (cmt) => \(\Delta\)DMH ~ \(\Delta\)DFN (g.g)
=> \(\frac{DM}{DF}=\frac{DH}{DN}\)=> \(DH.DF=DM.DN\)(5)
Dễ chứng minh \(\Delta\)CMD ~ \(\Delta\)NBD => \(\frac{DM}{DB}=\frac{DC}{DN}\Rightarrow DM.DN=DB.DC\)(6)
Từ (5) & (6) => \(DH.DF=DB.DC\)\(\Rightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DF}\)
\(\Rightarrow\Delta\)CDH ~ \(\Delta\)FDB (c.g.c) => ^DHC = ^DBF. Mà ^DHC + ^DCH = 900
=> ^DBF + ^DCH = 900 => CH vuông góc BF.
Xét \(\Delta\)CFB: FD vuông góc BC; CH vuôn góc BF; H thuộc FD => H là trực tâm \(\Delta\)CFB
=> BH vuông góc CF (tại P). Ta có nửa đg trong (O) đg kính BC và có ^CPB = 900
=> P thuộc nửa đường tròn (O) => Tứ giác CMPB nội tiếp (O)
=> ^BMP = ^BCP (2 góc nt chắn cung BP) Hay ^HMP = ^DCP
Xét tứ giác CPHD: ^CPH = ^CDH = 900 => ^DCP + ^DHP = 1800
=> ^HMP + ^DHP = 1800 hay ^HMP + ^KHP = 1800 => Tứ giác MPHK nội tiếp đg tròn
=> ^KMH = ^KPH (2 góc nt chắn cung KH) hay ^KMN = ^KPB.
Lại có tứ giác EMKN nội tiếp đg tròn => ^KMN = ^KEN => ^KMN = ^KEB
=> ^KPB = ^KEB => Tứ giác BKPE nội tiếp đg tròn. Mà 3 điểm B;K;E cùng thuộc (I)
=> Điểm P cũng thuộc đg tròn (I) => IP=IB => I thuộc trung trực của BP
Mặt khác: OP=OB => O cũng thuộc trung trực của BP => OI là trung trực của BP
=> OI vuông góc BP. Mà CF vuông góc BP (cmt) => OI // CF (7)
I nằm trên trung trực của EK và F là trung điểm EK => IF vuông góc EK => IF vuông góc d
OC vuông góc d => OC // IF (8)
Từ (7) & (8) => Tứ giác COIF là hình bình hành => IF = OC = R (bk của (O))
=> Độ dài của IF không đổi. Mà IF là khoảng cách từ I đến d (Do IF vuông góc d)
=> I nằm trên đường thẳng d' // d và cách d một khoảng bằng bán kính của nửa đường tròn (O)
Vậy điểm I luôn nằm trên d' cố định song song với d và cách d 1 khoảng = bk nửa đg tròn (O) khi M thay đổi.
a: Xét (O) có
\(\widehat{NBC}\) là góc nội tiếp chắn cung NC
\(\widehat{NAC}\) là góc nội tiếp chắn cung NC
Do đó: \(\widehat{NBC}=\widehat{NAC}\)
Xét ΔMAC và ΔMBN có
\(\widehat{MAC}=\widehat{MBN}\)
\(\widehat{M}\) chung
Do đó: ΔMAC đồng dạng với ΔMBN
=>\(\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MC}{MN}\)
=>\(MA\cdot MN=MB\cdot MC\)
1) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\) mà \(\angle ECB=90\Rightarrow BCDE\) nội tiếp
2) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}EF\bot AB\\AF\bot EB\end{matrix}\right.\Rightarrow F\) là trực tâm tam giác EAB \(\Rightarrow BF\bot AE\)
mà \(BD\bot AE\left(\angle BDA=90\right)\Rightarrow B,F,D\) thẳng hàng
Ta có: \(\angle FNB+\angle FCB=90+90=180\Rightarrow FNBC\) nội tiếp
Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta ABN:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ACF=\angle ANB=90\\\angle NABchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AFC\sim\Delta ABN\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AB}{AN}\Rightarrow AF.AN=AB.AC\)
Tương tự \(\Rightarrow BF.BD=BC.BA\)
\(\Rightarrow AF.AN+BF.BD=AB.AC+AB.BC=AB^2=4R^2\)
3) Gọi G là giao điểm của (AEF) và AB
Ta có: \(\angle FGB=\angle AEF\left(AEFGnt\right)=\angle DBA\left(BCDEnt\right)\Rightarrow\Delta GFB\) cân tại F có \(FC\bot GB\Rightarrow CB=CG\)
mà C,B cố định \(\Rightarrow G\) cố định
Vì AEFG nội tiếp \(\Rightarrow I\in\) trung trực AG mà A,G cố định \(\Rightarrow\) đpcm
a.Ta có BCBC là đường kính của (O)→AB⊥AC(O)→AB⊥AC
Mà HM⊥BCHM⊥BC
→ˆHAC=ˆHMC=90o→HAC^=HMC^=90o
→HACM→HACM nội tiếp đường tròn đường kính CHCH
b.Ta có AHMCAHMC nội tiếp
→ˆHAM=ˆHCM=ˆDCB=ˆDAB→HAM^=HCM^=DCB^=DAB^
→AB→AB là phân giác ˆDAMDAM^
c.Vì BCBC là đường kính của (O)→CD⊥BD→CD⊥BI(O)→CD⊥BD→CD⊥BI
Xét ΔIBCΔIBC có IM⊥BC,CD⊥BIIM⊥BC,CD⊥BI
Mà IM∩CD=H→HIM∩CD=H→H là trực tâm ΔIBC→BH⊥IC→BA⊥ICΔIBC→BH⊥IC→BA⊥IC
Mà AB⊥AC→I,A,CAB⊥AC→I,A,C thẳng hàng
Xét ΔBDH,ΔBAIΔBDH,ΔBAI có:
Chung ^BB^
ˆBDH=ˆBAI=90oBDH^=BAI^=90o
→ΔBDH∼ΔBAI(g.g)→ΔBDH∼ΔBAI(g.g)
→BDBA=BHBI→BDBA=BHBI
→BD.BI=BH.BA
Thanh Nguyen Phuc : Copy thì nhớ ghi nguồn nhé , cóp lỗi hết cả bài làm rồi kìa :))