Question

[Nguyen Phuc Duy]

 Cho A, B cố định . AB = a > 0 . Tìm tập hợp các điểm M thoã MA²+ MB² = 3a²/4

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Nối MA, MB tạo thành tam giác MAB

C là trung điểm của AB

áp dụng công thức đường trung tuyến

\(MC^2=\frac{2\left(MA^2+MB^2\right)-AB^2}{4}\) (*)

Lâu rồi tôi không nhớ là có được áp dụng công thức này hay không nếu phải chứng minh ta chứng minh như sau:

Áp dụng định lý hàm cos

Xét tg MAC có

\(MC^2=MA^2+AC^2-2.MA.AC.\cos\widehat{A}\)  (1)

Xét tg MAB có

\(MB^2=MA^2+AB^2-2.MA.AB.\cos\widehat{A}\Rightarrow\cos\widehat{A}=\frac{MA^2+AB^2-MB^2}{2.MA.AB}\) Thay vào (1) ta có

\(MC^2=MA^2+AC^2-2.MA.AC.\frac{MA^2+AB^2-MB^2}{2.MA.AB}\)

\(MC^2=MA^2+\frac{AB^2}{4}-2.MA.\frac{AB}{2}.\frac{MA^2+AB^2-MB^2}{2.MA.AB}\)

\(MC^2=MA^2+\frac{AB^2}{4}-\frac{MA^2+AB^2-MB^2}{2}=\frac{2\left(MA^2+MB^2\right)-AB^2}{4}\left(dpcm\right)\)

Từ (*)\(\Rightarrow MC^2=\frac{2.\frac{3a^2}{4}-a^2}{4}=\frac{a^2}{8}\Rightarrow MC=\frac{a}{2\sqrt{2}}\)

AB cố định => C cố định, M cách C cố định 1 khoảng không đổi \(=\frac{a}{2\sqrt{2}}\) nên M nằm trên đường tròn tâm C có bán kính\(=\frac{a}{2\sqrt{2}}\)