Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{c}+\sqrt{b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1=VP\)
Đặt vế trái là P:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)
Tương tự với 2 biểu thức còn lại, ta được:
\(P\le\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}\)
\(P\le\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn tham khảo ở đây nhé.
https://olm.vn/hoi-dap/detail/96898674827.html
`sqrta+sqrtb+sqrtc=2`
`<=>(sqrta+sqrtb+sqrtc)^2=4`
`<=>a+b+c+2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4`
`<=>2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4-(a+b+c)=4-2-2`
`<=>sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=1`
`=>a+1=a+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=sqrta(sqrta+sqrtb)+sqrtc(sqrta+sqrtb)=(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)`
Tương tự:`b+1=(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)`
`c+1=(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)`
`=>VT=sqrta/((sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc))+sqrtb/((sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc))+sqrtc/((sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb))`
`=>VT=(sqrta(sqrtb+sqrtc)+sqrtb(sqrtc+sqrta)+sqrtc(sqrta+sqrtb))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}+sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc})/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(2(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/\sqrt{[(sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)]^2}`
`=2/\sqrt{(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)}`
`=2/\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}=>đpcm`
a ơi giả thiết là a+b+c=\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)=2 nhé a
điện thoại cùi nên chụp hơi mờ, đề này còn thiếu a,,bc>0
Lời giải:
\(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)
\(\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=4\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})=4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\frac{4-(a+b+c)}{2}=1\)
\(\Rightarrow a+1=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})\)
Tương tự:
$b+1=(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})$
$c+1=(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{b})$
Khi đó:
\(A=\left[\frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{c}}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{b})}\right]\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}\)
\(\frac{\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{b}(\sqrt{c}+\sqrt{a})+\sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}.\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2(\sqrt{c}+\sqrt{a})^2}\)
\(=\frac{2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}.(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})\)
\(=2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})=2\)
Áp dụng bđt Bu-nhi-a, ta có
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)
=>\(\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự, rồi + vào, ta có
A\(\le\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (ĐPCM)
dấu =xảy ra <=>a=b=c>o
^_^