Question

[Le Van Hung]

CMR: các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố chỉ có một số lập phương của 1 số tự nhiên khác  . tìm số đó

Answer 1

[Nhok_baobinh]

Ta đặt số cần tìm là 2p + 1 = k³  ( k ∈ N ) 
<=> 2p = k³ - 1 
<=> 2p = ( k - 1 )( k² + k + 1 ) 
Thấy rằng vế trái có p là số nguyên tố, nghĩa là vế phải có một biểu thức bằng 2, biểu thức kia bằng p.                                                Mà k² + k + 1 = k( k + 1 ) + 1,  k( k + 1 ) chia hết cho 2 => k( k + 1 ) + 1 không chia hết cho 2.  
=>{k-1=2 
    {k²+k+1=p 
Giải hệ phương trình ta được k=3, p=13 (thỏa mãn) 
Vậy chỉ có số duy nhất cần tìm là 27.

Answer 2

[Bùi Tiến Dũng]

Ta đặt số cần tìm là 2p + 1 = k³  ( k ∈ N ) 
<=> 2p = k³ - 1 
<=> 2p = ( k - 1 )( k² + k + 1 ) 
Thấy rằng vế trái có p là số nguyên tố, nghĩa là vế phải có một biểu thức bằng 2, biểu thức kia bằng p.                                                Mà k² + k + 1 = k( k + 1 ) + 1,  k( k + 1 ) chia hết cho 2 => k( k + 1 ) + 1 không chia hết cho 2.  
=>{k-1=2 
    {k²+k+1=p 
Giải hệ phương trình ta được k=3, p=13 (thỏa mãn) 
Vậy chỉ có số duy nhất cần tìm là 27.