CM bất đẳng thức nếu a,b,c là cạnh của 1 tam giác
\(\left(a+b+c\right)^3>8abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
YY
28 tháng 5 2018
3 cạnh của một tam giác là ba số dương
áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc\)\
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
mà a,b,c là 3 cạnh của một tam giác đều => a=b=c => (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
LH
28 tháng 5 2018
a,b,c là 3 cạnh tam giác nên a>0,b>0,c>0
\(\Leftrightarrow a^2b+abc+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+abc+bc^2=8abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+bc^2+ab^2+ac^2+a^2c+ac^2-6abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+bc^2-2abc\right)+\left(ab^2+ac^2-2abc\right)+\left(a^2c+b^2c-2abc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a^2-2ac+c^2\right)+a\left(b^2-2bc+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)
Mà b>0;(a-c)^2>=0 => b(a-c)^2>=0;
a>0;(b-c)^2>=0 => a(b-c)^2 >=0;
c>0;(a-b)^2>=0 => c(a-b)^2>=0
Do đó: \(b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a-c=0\\b-c=0\\a-b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=c\\b=c\\a=b\end{cases}}}\Leftrightarrow a=b=c\)
=> a,b,c là 3 cạnh của một tam giác đều
NQ
2
2 tháng 9 2016
Cách 1. Áp dụng bđt Bunhiacopxki : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{a.\frac{1}{a}}+\sqrt{b.\frac{1}{b}}+\sqrt{c.\frac{1}{c}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Cách 2. Áp dụng bđt Cauchy :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
21 tháng 7 2020
Theo mình đề chứng minh: \(3Min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right\}\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
5 tháng 6 2016
Ta có :
( b + c - a ) ( b + a - c ) = b2 - ( c - a )2 < b2
( c + a - b ) ( c + b - a ) = c2 - ( a - b ) 2 < c2
( a + b - c ) ( a + c - b ) = a2 - ( b - c )2 < a2
Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên ta được
[ ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) ]2 < [ abc ]2
Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên
( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) < abc
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b =c
LT
2
21 tháng 6 2018
vì a>0;b>0;c>0\(\Rightarrow\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\)luôn được xác định
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\Rightarrow a-2\sqrt{ab}+b>=0\Rightarrow a+b>=2\sqrt{ab}\)
\(\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2>=0\Rightarrow b-2\sqrt{bc}+c>=0\Rightarrow b+c>=2\sqrt{bc}\)
\(\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2>=0\Rightarrow c-2\sqrt{ca}+a>=0\Rightarrow c+a>+2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>=2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)(đpcm)
dấu = xảy ra khi a=b=c
KY
16 tháng 9 2019
Áp dụng ĐBT Cauchy - schwarz cho 2 số không âm, ta được:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\left(đpcm\right)\)
KN
4 tháng 2 2020
Giả sử c không là độ dài cạnh nhỏ nhất, không mất tính tổng quát, giả sử : \(c\ge a\)
\(\Rightarrow c^2+b^2\ge a^2+b^2>5c^2\)
\(\Rightarrow b^2>4c^2=\left(2c\right)^2\)(1)
Vì b và c là số dương (độ dài các cạnh) nên \(\left(1\right)\Leftrightarrow b>2c\ge c+a\)(trái với bđt tam giác)
Vậy điều giả sử là sai nên c là độ dài cạnh nhỏ nhất (đpcm)
bạn phân tích (a+b+c)^3 ra rồi trừ đi 8abc
Áp dụng bất đẳng thức tam giác là ra (a+b+c)^3 -8abc luôn > o
Làm cách đó hơi dài
Áp dụng BĐT tam giác ta có
\(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c>2c\\a+b+c>2a\\a+b+c>2c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3>8abc\)