Question

[Hà Triệu Mẫn]

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, gọi

M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MH lấy điểm D sao cho MD = MH.

a) Chứng minh : tứ giác AHBD là hình chữ nhật.

b) Gọi E là điểm đối xứng của B qua điểm H. Chứng minh tứ giác ADHE là hình bình hành.

c) Kẻ EF ⊥ AC (F ∈ AC). Chứng minh AH = HF.

d) Gọi I là trung điểm của EC. Chứng minh HF ⊥ FI

Giải gấp giúp mình với mình đang cần gấp

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Xét tứ giác AHBD có MB = MA; MD = MH nên nó là hình bình hành (dhnb). 

Lại có \(\widehat{BHA}=90^o\) nên AHBD là hình chữ nhật (dhnb).

b) Do AHBD là hình chữ nhật nên AD song song và bằng HB.

Lại có HB = HE nên AD song song và bằng HE.

Xét tứ giác ADHE có AD song song và bằng HE nên nó là hình bình hành (dhnb)

c) Lấy J là trung điểm AF.

Do AB và EF cùng vuông góc với AC nên BAFE là hình thang vuông.

Lại có H, J là trung điểm các cạnh bên nên HJ là đường trung bình của hình thang.

Vậy nên HJ // AB // EF hay \(HJ\perp AF\)  

Xét tam giác AHF có HJ là trung tuyến đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân.

Vậy thì HA = HF.

d) Xét tam giác vuông EFC có FI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên FI = IC hay \(\widehat{IFC}=\widehat{ICF}\)

Lại có \(\widehat{ICF}=\widehat{BAH}\) (Cùng phụ với góc HAC)

Nên \(\widehat{IFC}=\widehat{BAH}\)

Ta cũng có \(\widehat{HFE}=\widehat{JHF}\)  (Hai góc so le trong)

\(\widehat{JHF}=\widehat{JHA}\) (HJ là phân giác)

\(\widehat{JHA}=\widehat{BAH}\)  (Hai góc so le trong)

nên \(\widehat{HFE}=\widehat{BAH}\)

Vậy thì \(\widehat{IFC}=\widehat{HFE}\)

Từ đó ta có : \(\widehat{IFC}+\widehat{EFI}=\widehat{HFE}+\widehat{EFI}\Rightarrow\widehat{HFI}=\widehat{EFC}=90^o\)

Hay \(HF\perp FI\)