Cho x2 =yz ,Chứng minh rằng: \(\frac{x+y}{x-y}=\frac{z+x}{z-x}\)
Cho \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\) thì \(\frac{x^2+y^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{z}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(x^2=yz\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{x}{z}=\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}=\frac{yz+y^2}{yz+z^2}=\frac{y\left(z+y\right)}{z\left(y+z\right)}=\frac{y}{z}\) với x;y;z khác 0 (đpcm)
k cho mik nha các bn!
Dễ dàng chứng minh được:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)
Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)
Chứng mih tương tự, ta được;
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)
Từ (3), (4), (5), ta được:
\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:
\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)
Từ (2) và (6), ta được:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)
Theo GT : \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=3\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
\(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x\left(x^2+z\right)}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)
Tương tự , ta có : \(\frac{y^3}{y^2+x}\ge y-\frac{\sqrt{x}}{2}\) ; \(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{\sqrt{y}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\)
Vì x ; y ; z dương , áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
\(x+1\ge2\sqrt{x};y+1\ge2\sqrt{y};z+1\ge2\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
=> \(\frac{x+y+z+3}{2}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\) => BĐT được c/m
Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có :
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{9}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{9}{3}=3\) => BĐT được c/m
Có : \(\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+x}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{2}\ge\frac{3.3-3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy ...
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\text{VT}=x-\frac{x}{x^2+z}+y-\frac{y}{y^2+x}+z-\frac{z}{z^2+y}=(x+y+z)-\left(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+y}\right)\)
\(\geq (x+y+z)-\left(\frac{x}{2\sqrt{x^2z}}+\frac{y}{2\sqrt{y^2x}}+\frac{z}{2\sqrt{z^2y}}\right)=(x+y+z)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)(1)\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Cauchy-Schwarz:
\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3(2)\)
\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(1+1+1)=9\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\leq 3(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Mặt khác: \(\text{VP}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{3}{2}\)
Do đó \(\text{VT}\geq \text{VP}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)
HD: áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số hạng trên, khi đó trong căn sẽ triệt tiêu các tổng suy ra đpcm
1111111111111111111
\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)
Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)
Là xong.
A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x + y)(x + 4y). (x + 2y)(x + 3y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4
= (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2
Do x , y Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z rròi nè **** đi