Bài 37: Cho x, y là các số thực dương. C/m: 
\(\left(x+y\right)^2+\frac{x+y}{2}\ge2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
27 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(\sqrt{x\left(2x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3x\left(2x+y\right)}\le\frac{5x+y}{2\sqrt{3}}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{5y+x}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{6\left(x+y\right)}{2\sqrt{3}}=\frac{3\left(x+y\right)}{\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}}\ge\frac{x+y}{\frac{3}{\sqrt{3}}\left(x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
18 tháng 10 2020
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
17 tháng 11 2017
Để lên lớp 9 rồi em giải cho
Mà em thấy CTV đâu rồi nhỉ
Các bn CTV phải giúp đỡ tình trạng thế này nhé
Chúc bn hok giỏi , sớm có người giải cho bn bài này
bài này easy thôi:
ta có:\(\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0;\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0̸.\)với \(\forall a,b>0\)
\(\Rightarrow a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\ge0;b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\right)+\left(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\ge0\)với \(\forall a,b>0\)
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}.\)
Mặt khác \(a+b\ge2\sqrt{ab}>0.\)
Nhân từng vế ta được:
\(\left(a+b\right)\left(\left(a+b\right)+\frac{1}{2}\right)\ge2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right).\)
hay \(\left(a+b\right)^2+\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{4}\)