Giải hệ phương trình sau:
\(\hept{\begin{cases}y=\frac{2x^2}{1+x^2}\\z=\frac{2y^2}{1+y^2}\\x=\frac{2z^2}{1+z^2}\end{cases}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 2 2017
Đễ thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm của hệ
Xét \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\y\ne0\\z\ne0\end{cases}}\)
Cộng 3 phương trình vế theo vế ta được
\(\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}=x+y+z\)
Ta có: \(\frac{2x^2}{x^2+1}\le\frac{2x^2}{2x}=x\)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{2y^2}{y^2+1}\le y\\\frac{2z^2}{z^2+1}\le z\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}\le x+y+z\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Vậy nghiệm của hệ là: \(\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0;1,1,1\right)\)
PS: Tính không làm đâu nhưng mà đồng hương nên giúp nhau vậy :D
TN
17 tháng 2 2017
nhìn hpt bự con thế này chắc xài BĐT giải r`, chờ mình tẹo :)
PN
23 tháng 8 2020
Sử dụng bđt AM-GM ta có :
\(1+x^2\ge2\sqrt{1.x^2}=2x< =>y\ge\frac{2x^2}{2x}=x\)
Bằng cách chứng minh tương tự ta được :
\(z\ge\frac{2y^2}{2y}=y;x\ge\frac{2z^2}{2z}=z\)
Cộng 3 vế lại : \(x+y+z\ge x+y+z\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}1=x^2\\1=y^2\\1=z^2\end{cases}< =>...}\)
20 tháng 2 2019
a) \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(2x+y\right)=0\\\left(y+1\right)\left(2y-x\right)=0\end{cases}}\)
\(\cdot x=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\\left(y+1\right)\left(2y-1\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\y=-1;y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
\(\cdot y=-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\\0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1;x=\frac{1}{2}\\0=0\end{cases}}\)
\(\cdot x=2y\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2y-1\right)5y=0\\0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\Rightarrow x=0\\y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=1\end{cases}}\)
\(y=-2x\Rightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\\left(1-2x\right)5x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=-1\\x=0\Rightarrow y=0\end{cases}}\)
b) \(\hept{\begin{cases}x+y=\frac{21}{8}\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{37}{6}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{21}{8}-y\\\left(\frac{21}{8}-y\right)^2+y^2=\frac{37}{6}y\left(\frac{21}{8}-y\right)\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{21}{8}-y\\2y^2-\frac{21}{4}y+\frac{441}{64}=-\frac{37}{6}y^2+\frac{259}{16}y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{21}{8}-y\\1568y^2-4116y+1323=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{8}\\y=\frac{9}{4}\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{3}{8}\end{cases}}\)
c) \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{z^2}=\left(2-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2xy-x-y\right)^2=-4x^2y^2+2xy\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8x^2y^2-4x^2y-4xy^2+x^2+y^2-2xy+2xy=0\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x^2y^2-4x^2y+x^2+4x^2y^2-4xy^2+y^2=0\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2xy-x\right)^2+\left(2xy-y\right)^2=0\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{2}\\z=\frac{-1}{2}\end{cases}}\)
d) \(\hept{\begin{cases}xy+x+y=71\\x^2y+xy^2=880\end{cases}}\). Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y=S\\xy=P\end{cases}}\), ta có: \(\hept{\begin{cases}S+P=71\\SP=880\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=71-P\\P\left(71-P\right)=880\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=71-P\\P^2-71P+880=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=16\\P=55\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}S=55\\P=16\end{cases}}\)
\(\cdot\hept{\begin{cases}S=16\\P=55\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=16\\xy=55\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16-y\\y\left(16-y\right)=55\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16-y\\y^2-16y+55=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=11\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}x=11\\y=5\end{cases}}\)
\(\cdot\hept{\begin{cases}S=55\\P=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=55\\xy=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=55-y\\y\left(55-y\right)=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=55-y\\y^2-55y+16=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{55-3\sqrt{329}}{2}\\y=\frac{55+3\sqrt{329}}{2}\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}x=\frac{55+3\sqrt{329}}{2}\\y=\frac{55-3\sqrt{329}}{2}\end{cases}}\)
e) \(\hept{\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=12\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=28\end{cases}}\). Đặt \(\hept{\begin{cases}S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\\P=\sqrt{xy}\end{cases}}\), ta có \(\hept{\begin{cases}SP=12\\P\left(S^2-2P\right)=28\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=\frac{12}{P}\\P\left(\frac{144}{P^2}-2P\right)=28\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=\frac{12}{P}\\2P^4+28P^2-144P=0\end{cases}}\)
Tự làm tiếp nhá! Đuối lắm luôn
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
6 tháng 11 2017
Ta có \(y=1-2z^2;x=3-y-z=2z^2-z+2\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{3\left(yz+xz+xy\right)}{3xyz}=\frac{xyz}{3xyz}\)
\(\Rightarrow3z\left(1-2z^2\right)+3z\left(2z^2-z+2\right)+3\left(1-2z^2\right)\left(2z^2-z+2\right)\)
\(=z\left(1-2z^2\right)\left(2z^2-z+2\right)\)
\(\Leftrightarrow4z^5-14z^4+8z^3-8z^2+4z+6=0\)
\(\Leftrightarrow z=1\vee z=3\vee z=-\frac{1}{2}\)
Với z = 1, ta có y = -1, x = 3
Với z = 3, x = 17, y = -17
Với \(z=-\frac{1}{2},x=3,y=\frac{1}{2}\)
Tóm lại hệ có 3 nghiệm \(\left(3;-1;1\right),\left(17;-17;3\right),\left(3;\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
BH
1 tháng 3 2020
\(\hept{\begin{cases}x^2-2x\sqrt{y}+2y=x\\y^2-2y\sqrt{z}+2z=y\\z^2-2z\sqrt{x}+2x=z\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x\sqrt{y}+2y+y^2-2y\sqrt{z}+2z+z^2-2z\sqrt{x}+2x=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{y}\right)^2+\left(y-\sqrt{z}\right)^2+\left(z-\sqrt{x}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\sqrt{y}=0\\y-\sqrt{z}=0\\z-\sqrt{x}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{y}\\y=\sqrt{z}\\z=\sqrt{x}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{cases}}\)
Ta có:\(y=\frac{2x^2}{1+x^2}\le\frac{2x^2}{2x}=x\Leftrightarrow y\le x\)
Tương tự ta có:\(z\le y,y\le x\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z\)
Đến đây dễ rồi