Cho đa thức f (x) = x2 + px + q với p , q 
Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f (k) = f (2008).f (2009)
Help me !
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
5 tháng 12 2020
Ta có: \(f\left(x\right)=x^2+px+q\)
\(\Rightarrow f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+p.x+q\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+\left(x^2+p.x+q\right)\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)
\(=f\left(x\right).\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)=f\left(x\right).\left(x^2+px+q+2x+p+1\right)\)
\(=f\left(x\right).\left(\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)p+q\right)=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Vậy tồn tại số nguyên k để f(k) = f(2008).f(2009) ( Chọn x = 2018 thì \(k=f\left(2018\right)+2018\))
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 3 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Cho đa thức f(x) = x^2+ax+b(a,b thuộc Z).Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố k để f(x) = f(2019).f(2020) - Hoc24
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2022
Xét \(f\left[f\left(x\right)+x\right]=\left[f\left(x\right)+x\right]^2+m\left[f\left(x\right)+x\right]+n\)
\(=\left(x^2+mx+n+x\right)^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+x^2+m\left(x^2+mx+n\right)+mx+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+\left(x^2+mx+n\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+mx+n+2x+m+1\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)
\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Thay \(x=2021\)
\(\Rightarrow f\left[f\left(2021\right)+2021\right]=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\)
Đặt \(f\left(2021\right)+2021=k\)
Do \(f\left(x\right)\) có hệ số m;n nguyên \(\Rightarrow k\) nguyên
\(\Rightarrow f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\) với k nguyên
Hay tồn tại số nguyên k thỏa mãn yêu cầu
SA
17 tháng 2 2018
1. cho các số thực dương x,y,z t/mãn: x2 + y2 + z2 = 1
Cmr: \(\frac{x}{y^2+z^2}\) + \(\frac{y}{x^2+z^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\) \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
2. Cho x,y thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}xy\ge0\\x^2+y^2=1\end{cases}}\)
Tìm GTNN,GTLN của \(S=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\)
3. Cho \(\hept{\begin{cases}xy\ne0\\xy\left(x+y\right)=x^2+y^2-xy\end{cases}}\)
Tìm GTLN của \(A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\)
4. Cho tam giác ABC; đường thẳng đi qua trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I vuông góc với đường phân giác trong của góc C. Gọi a,b,c là độ dài 3 canh tương ứng với 3 đỉnh A,B,C.
Cmr: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{c}\)
26 tháng 2 2019
ui má. đúng mấy bài tập thầy tui cho ôn. giờ đang loay hoay
TN
9 tháng 5 2016
ta chứng minh:f[f(x)+x]=f(x)*f(x+1)
thậy vậy:
f[f(x)+x]=[f(x)+x]2+b[f(x)+x]+c
=f2(x)+2f(x)*x+x2+bf(x)+c(x)+c
=f(x)[f(x)+2x+b]+x2+bx+c
=f(x)[f(x)+2x+b]+f(x)
=f(x)[f(x)+2x+b+1]
=f(x)[(x2+b+c+2x+b+1]
=f(x)[(x+1)2+b(x+1)+c]
=f(x)*f(x+1)
Với x = 2008, đặt k = f(2008) + 2008 ta có đpcm
Ta có :
\(f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q.\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+px+q\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)
\(=f\left(x\right)\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)\)
\(=f\left(x\right)\left[\left(x^2+2x+1\right)+\left(px+p\right)+q\right]\)
\(=f\left(x\right)\left[\left(x+1\right)^2+p\left(x+1\right)+q\right]\)
\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Từ đây thì ta thấy được nếu :
\(k=f\left(2008\right)+2008\) thì
\(\Leftrightarrow f\left(k\right)=f\left(f\left(2008\right)+2008\right)\)
\(\Leftrightarrow f\left(k\right)=f\left(2008\right)\times f\left(2009\right)\)
Câu hỏi của nguyễn thu ngà - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath