Tìm số nguyên tố p để :
2p + 3 và p+13 là số nguyên tố
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
1
IL
0
PV
3
1 tháng 3 2020
p2p2 là số chính phương nên p2p2 chia 7 dư 0,1,2 hoặc 4
- Nếu p2⋮7p2⋮7 thì p⋮7⇒p=7p⋮7⇒p=7 , thay vào thỏa mãn
-Nếu p2p2 chia 7 dư 1 thì 3p2+43p2+4 ⋮7⇒⋮7⇒ trái với đề bài
- Nếu p2p2 chia 7 dư 2 3p2+1⋮7⇒3p2+1⋮7⇒ vô lí
-Nếu p2p2 chia 7 dư 4 2p2−1⋮7⇒2p2−1⋮7⇒ vô lí
Vậy p=7
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
1.
\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)
Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:
\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)
\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn
2. \(N=n^4+4^n\)
- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số
- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)
\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)
Mặt khác:
\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)
\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)
\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow\) N là hợp số
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).
Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9
Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số 3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)
Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)
26 tháng 2 2021
Bài 1:
Nếu p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 không là số nguyên tố
2 + 4 = 6 không là số nguyên tố
Vậy p = 2 không thỏa mãn
Nếu p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố
3 + 4 = 7 là số nguyên tố
Vậy p = 3 thỏa mãn
Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Khi p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) không là số nguyên tố
Vậy p = 3k + 1 không thỏa mãn
Khi p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố
Vậy p = 3k + 2 không thỏa mãn
Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất.
26 tháng 2 2021
Bài 2:
Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3
p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3
Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3
Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3
Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3
=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.
U
1
CC
28 tháng 11 2019
Với \(p=2\)\(\Rightarrow2p+5=9\)là hợp số ( loại )
Với \(p=3\)\(\Rightarrow2p+5=11\)và \(2p+7=13\)là số nguyên tố ( thoả mãn )
Với \(p>3\)\(\Rightarrow\)p chia 3 dư 1 hoặc dư 2
TH1: p chia 3 dư 1 \(\Rightarrow p=3k+1\left(k\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow2p+7=2\left(3k+1\right)+7=6k+9=3\left(2k+3\right)⋮3\)
TH2: p chia 3 dư 2 \(\Rightarrow p=3k+2\left(k\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow2p+5=2\left(3k+2\right)+5=6k+9=3\left(2k+3\right)⋮3\)
\(\Rightarrow p>3\)( loại )
Vậy \(p=3\)
NT
2
8 tháng 11 2016
+)Xét TH: p=2
=>2p2 +1=9 (ko là số ntố, loại)
+)Xét TH:p=3
=>2p2+1=19 (là số ntố, chon)
+)Xét TH: p>3 =>p có 1 trong 2 dạng 3k+1 hoặc 3k+2
p=3k+1 =>2p2+1=2.(3k+1)2+1=2.(9k2+6k+1)+1=18k2+12k+2+1
=3.(6k2+4k+1) chia hết cho 3 , mà 2p2+1 >3 (vì p>3)
=>2p2+1 là hợp số(loại)
p=3k+2=>2p2+1=2.(3k+2)2+1=2.(9k2+12k+4)+1
=18k2+24k+8+1= 3.(6k2+8k+3) chia hết cho 3 (là hợp số vì 2p2+1>0,loại)
Vậy p=3 thì 2p2+1 là số ntố
8 tháng 11 2016
+Xét p=3 => 2p^2+1=19 ( tm)
+Xét p>3 vì p là SNT => P có 1 trong 2 dạng : 3k+1 hoặc 3k+2
+p=3k+1 => \(2p^2+1\)\(=2.\left(3k+1\right)^2+1\)=\(2.\left(9k^2+6k+1\right)+1\\ =18k^2+12k+3\)
=> với p=3k+1 thi 2p^2+1 là Hợp số
tương tự p=3k+2 cũng thế
Vì p nguyên tố nên p >=2
+Nếu p=2 thì p+13=15 ko nguyên tố
+Nếu p>2 thi p lẻ ( vì p nguyên tố )
=> p+13 chẵn nên p+13 chia hết cho 2(1)
Mà p>2 => p+13>2 (2)
Từ (1) và (2) => p+13 là hợp số hay p+13 ko nguyên tố
Vậy ko tồn tại số nguyên tố p để 2p+3 và p+13 nguyên tố
Vì p nguyên tố nên p \(\ge\)2
+Nếu p=2 thì p+13=15 ko nguyên tố
+Nếu p>2 thi p lẻ ( vì p nguyên tố )
=> p+13 chẵn nên p+13 chia hết cho 2(1)
Mà p>2 \(\ge\) p+13>2 (2)
Từ (1) và (2) => p+13 là hợp số hay p+13 ko nguyên tố
Vậy ko tồn tại số nguyên tố p để 2p+3 và p+13 nguyên tố
P/s tham khảo nha