Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm GTLN của\(A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 10 2019
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\text{a}-\frac{a^2}{a+1}+b-\frac{b^2}{b+1}+c-\frac{c^2}{c+1}\)
\(=1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức :
\(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\le1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow GTLN=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
29 tháng 10 2019
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=a-\frac{a^2}{a+1}+b-\frac{b^2}{b+1}+c-\frac{c^2}{c+1}\)
\(=1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\le1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow GTLN=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
3 tháng 11 2019
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=a-\frac{a^2}{a+1}+b-\frac{b^2}{b+1}+c-\frac{c^2}{c+1}\)
\(=1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức ta có :
\(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\le1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow GTLN=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
15 tháng 4 2020
chuyển mỗi biểu thức trong cân về cùng bậc 2 ta có:
\(a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a\left(a+b+c\right)+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a^2+a\left(b+c\right)+\frac{\left(b+c\right)^2-4ab}{4}\)
\(=\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2-bc\le\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le a+\frac{b+c}{2}\)
tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}\le b+\frac{c+a}{2}\\\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le c+\frac{a+b}{2}\end{cases}}\)
cộng theo vế của bđt trên ta được
\(P=\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le2\left(a+b+c\right)=2\)
Vậy GTLN của P=2 đạt được khi a=b=0;c=1 và các hoán vị
21 tháng 10 2017
Từ gt \(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}=2-\frac{1}{b+c+1}-\frac{1}{c+a+1}=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}}\text{ }\left(1\right)\) (bđt Cauchy)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(a+c+1\right)}}\text{ }\left(2\right)\\\frac{1}{c+a+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\text{ }\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}.\frac{1}{b+c+1}.\frac{1}{c+a+1}\ge8\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}{\left(a+b+1\right)^2\left(b+c+1\right)^2\left(c+a+1\right)^2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\ge8.\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow1\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{8}\)Hay \(M\le\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}\)
1 tháng 5 2019
Áp dụng bdtd quen thuộc :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
1 tháng 5 2019
Chứng minh bđt nha ( quên mất )
Áp dụng bđt Cauchy :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}}\)
Nhân từng vế của 2 bđt ta được đpcm
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
\(A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13\)có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}\)
A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}A=aa−1+bb−1+cc−4=1−a1+1−b1+1−c4
=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13=3−(a1+b1+c4)≤3−a+b+c(1+1+2)2=3−16=−13có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}⇔a=b=41;c=21