Chứng minh rằng:
\(A=75\left(4^{2010}+4^{2009}+.....+4^2+4+1\right)+25⋮100\)
Bạn nào trả lời sớm mình sẽ lại cho
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(B=1+4+4^2+...+4^{1998}+4^{1999}\)
\(\Rightarrow4B=4+4^2+4^3+...+4^{1999}+4^{2000}\)
\(\Rightarrow4B-B=\left(4+4^2+4^3+...+4^{2000}\right)-\left(1+4+4^2+...+4^{1999}\right)\)
\(\Rightarrow3B=4^{2000}-1\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{4^{2000}-1}{3}\)
Khi đó ta có:
\(A=75.B=75.\dfrac{4^{2000}-1}{3}=\dfrac{75.\left(4^{2000}-1\right)}{3}=\dfrac{75}{3}.\left(4^{2000}-1\right)=25.\left(4^{2000}-1\right)=25.4^{2000}-25\)
Ta có: \(4^{2000}-1=\left(4^4\right)^{500}-1=\left(...6\right)-1=...5\)
\(\Rightarrow25.4^{2000}-25=25.\left(...5\right)-25=\left(...5\right)-25=...0⋮100\left(đpcm\right)\)
Ta có:
\(A=75.\left(4^{1999}+4^{1998}+...+4^2+4+1\right)+25\)
\(A=25.3.\left(4^{1999}+4^{1998}+...+4^2+4+1\right)+25\) \(A=25.\left(4-1\right).\left(4^{1999}+4^{1998}+...+4^2+4+1\right)+25\)
\(A=25.\left(4^{2000}+4^{1999}+...+4^3+4^2+4-4^{1999}-4^{1998}-...-4^2-4-1\right)+25\)\(A=25.\left(4^{2000}-1\right)+25\)
\(A=25.\left(4^{2000}-1+1\right)\)
\(A=25.4^{2000}=25.4.4^{1999}=100.4^{1999}\)Vây:A là số chia hết cho 100
Lời giải:
Xét $A=4^{2021}+4^{2020}+...+4^2+4+1$
$4A=4^{2022}+4^{2021}+...+4^3+4^2+4$
$\Rightarrow 4A-A=4^{2022}-1$
$\Rightarrow 3A=4^{2022}-1$
$\Rightarrow M=75A+25=25(4^{2022}-1)+25=25.4^{2022}=100.4^{2021}\vdots 100$
Ta có đpcm.
Chắc đặt nhầm lớp rồi
Ta có :\(B=4^{2004}+4^{2003}+...+4^2+4+1\)
\(4B=\left(4^{2004}+4^{2003}+...+4^2+4+1\right).4\)
\(4B=4^{2005}+4^{2004}+...+4^3+4^2+4\)
\(4B-B=\left(4^{2005}+4^{2004}+...+4^3+4^2+4\right)\)\(-\left(4^{2004}+4^{2003}+...+4+1\right)\)
\(3B=\left(4^{2005}-1\right)\)\(\Rightarrow\frac{4^{2005}-1}{3}\)
\(\Rightarrow A=75.\frac{4^{2005}-1}{3}+25\)
\(\Rightarrow A=25.\left(4^{2005}-1\right)+25\)
\(\Rightarrow A=25.\left(4^{2005}-1+1\right)\)
\(\Rightarrow A=25.4.4^{2004}\)
\(\Rightarrow A=100.4^{2004}\)
Mà 100 chia hết 100 nên \(100.4^{2004}\) chia hết cho 100
B=4^0 + 4^1 +...+ 4^2004
4B=4^1+4^2+...+4^2005
3B=4^2004-4^0
B=(4^2004-4^0):3
Thay B vào ta có :
A=75.(4^2004-4^0):3+25
A=25.(4^2004-4^0)+25
A=25.4^2004
A=100.4^2003
Vậy A chia hết cho 100