Question

[Kiệt Dương]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1 ; -1) , tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp lần lượt là I (5/2 ; 1) và J (2 ; 0). Đường thẳng chứa cạch BC đi qua điểm nào dưới đây ?

A. M(0;4) 

B. N(-1;2)

C. P(4;-1)

D. Q(3;2)

Mong mọi người giúp em với ạ .

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Bán kính đường tròn (ABC) là R  thì  \(R=IA=\frac{25}{4}\), tâm là \(I\left(\frac{5}{2};1\right)\)

\(\Rightarrow\left(ABC\right):\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{25}{4}\)

Gọi K là giao của AJ và (ABC) (khác A), ta có \(\overrightarrow{AJ}=\left(1;1\right)\Rightarrow AJ:\hept{\begin{cases}x=1+t\\y=-1+t\end{cases}}\)

K nằm trên AJ \(\Rightarrow K\left(1+t;-1+t\right)\), mà K cũng thuộc (ABC) nên:

\(\left(1+t-\frac{5}{2}\right)^2+\left(-1+t-1\right)^2=\frac{25}{4}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=0\\t=\frac{7}{2}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}K\left(1;-1\right)\left(l\right)\\K\left(\frac{9}{2};\frac{5}{2}\right)\left(c\right)\end{cases}}\)

Dễ dàng chứng minh được (BJC) có tâm \(K\left(\frac{9}{2};\frac{5}{2}\right)\)và \(KJ^2=\frac{25}{2}\)

\(\Rightarrow\left(BJC\right):\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\)

Xét hệ \(\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{25}{4}\\\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2-5x-2y+1=0\\x^2+y^2-9x-5y+14=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{13-4x}{3}\\x^2+\left(\frac{13-4x}{3}\right)^2-5x-\frac{26-8x}{3}+1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x=4\\y=-1\end{cases}}}\Rightarrow B\left(1;3\right),C\left(4;-1\right)\left(h\right)B\left(4;-1\right),C\left(1;3\right)\)

Giả sử \(B\left(1;3\right),C\left(4;-1\right)\Rightarrow BC:\hept{\begin{cases}x=1+3s\\y=3-4s\end{cases}}\)

Thử từ đáp án chỉ thấy \(P\left(4;-1\right)\in BC\). Chọn C.