Question

[trần quang nhật]

Ai giúp mình với ạ, mình sắp thi tuyển sinh rồi:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và điểm A chạy trên nửa đường tròn. Kẻ đường cao AH, phân giác BD. Kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc BC).

a) Chứng minh: AHED nội tiếp.

b) Gọi G là giao điểm của BD và AH. Kẻ FG vuông góc với AH (F thuộc AB). Chứng minh EF vuông góc với AB.

c) Gọi K là trung điểm của BG, CG cắt (O) tại J. Chứng minh, đường tròn ngoại tiếp tam giác JKH đi qua một điểm cố định khi A chuyển động trên nửa đường tròn đường kính BC.

Answer 1

[Nguyễn Đức Hùng]

a. Ta có: $\widehat{BEH}={90}^{\circ }$(góc nội tiếp chắn nửa (BH)) ⇒ HE ⊥ AB

∆AHB vông tại H, đường cao HE:

AE.AB = $A{H}^2\left(1\right)$

$\widehat{HFC}={90}^{\circ }$(góc nội tiếp chắn nửa (HC)) ⇒ HF ⊥ AC

∆AHC vuông tại H, đường cao HF: AF.AC = $A{H}^2$(2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC

b. Ta có: $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$(góc nội tiếp chắn nửa (BC)) $\Rightarrow \widehat{EAF}={90}^{\circ }$

Mà $\widehat{AEH}={90}^{\circ }\left(HE\perp AB\right)$ và $\widehat{AFH}={90}^{\circ }\left(HF\perp AC\right)$

⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật ⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp

$\widehat{HEF}=\widehat{HAF}$(Cùng chắn cung HF của (AEHF))

$\widehat{HAF}=\widehat{ABC}\Rightarrow$ EF là tiếp tuyến (BH)

c. Ta sẽ chứng minh $\widehat{AIH}=\widehat{KAC}$

Ta có: $\widehat{KAC}=\widehat{HAC}$ (tính chất đối xứng)

$\widehat{HAC}=\widehat{AHE}$ (so le trong) $\Rightarrow \widehat{KAC}=\widehat{AHE}$

$\widehat{AIH}=\widehat{AHE}$ (tính chất đối xứng)

Vậy $\widehat{AIH}=\widehat{KAC}$ (Cùng = $\widehat{AHE}$)

Mà AC // IH (tứ giác AEHF là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \widehat{AIH}$ và $\widehat{KAC}$ đồng vị ⇒ I, A, K thẳng hàng

Answer 2

[Nguyễn Đức Hùng]

a. Ta có: $\widehat{BEH}={90}^{\circ }$(góc nội tiếp chắn nửa (BH)) ⇒ HE ⊥ AB

∆AHB vông tại H, đường cao HE:

AE.AB = $A{H}^2\left(1\right)$

$\widehat{HFC}={90}^{\circ }$(góc nội tiếp chắn nửa (HC)) ⇒ HF ⊥ AC

∆AHC vuông tại H, đường cao HF: AF.AC = $A{H}^2$(2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC

b. Ta có: $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$(góc nội tiếp chắn nửa (BC)) $\Rightarrow \widehat{EAF}={90}^{\circ }$

Mà $\widehat{AEH}={90}^{\circ }\left(HE\perp AB\right)$ và $\widehat{AFH}={90}^{\circ }\left(HF\perp AC\right)$

⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật ⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp

$\widehat{HEF}=\widehat{HAF}$(Cùng chắn cung HF của (AEHF))

$\widehat{HAF}=\widehat{ABC}\Rightarrow$ EF là tiếp tuyến (BH)

c. Ta sẽ chứng minh $\widehat{AIH}=\widehat{KAC}$

Ta có: $\widehat{KAC}=\widehat{HAC}$ (tính chất đối xứng)

$\widehat{HAC}=\widehat{AHE}$ (so le trong) $\Rightarrow \widehat{KAC}=\widehat{AHE}$

$\widehat{AIH}=\widehat{AHE}$ (tính chất đối xứng)

Vậy $\widehat{AIH}=\widehat{KAC}$ (Cùng = $\widehat{AHE}$)

Mà AC // IH (tứ giác AEHF là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \widehat{AIH}$ và $\widehat{KAC}$ đồng vị ⇒ I, A, K thẳng hàng