Cho a, b, c, d là độ dài các cạnh của một tứ giác thỏa mãn điều kiện: \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\)
Chứng minh rằng: a, b, c, d là độ dài các cạnh của một hình thoi
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 2 2020
\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\left(1\right)\\\left(c-d\right)\left(c+d\right)=0\left(2\right)\\ab-cd=0\left(3\right)\end{cases}}\)
Theo hai phương trình (1) và (2) ta được a=b và c=d( vì a,b,c,d là độ dài 4 cạnh của tứ giác lồi nên a+b và c+d >0 do đó a-b và c-d phải bằng 0)
Vì a=b và c=d nên thế vào phương trình (3) ta được\(a^2-c^2=0\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+c\right)\)Suy ra a=c
Vậy a=b=c=d hay abcd là hình thoi
10 tháng 12 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho những số không âm, ta được:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=4abcd\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=d
hay tứ giác ABCD là hình thoi
KN
27 tháng 9 2020
Giả sử tứ giác ABCD có AD = a, AB = b, BC = c, CD = d không có hai cạnh nào bằng nhau. Ta có thể giả sử a < b < c < d.
Ta có a + b + c > BD + c > d.
Do đó a + b + c + d > 2d hay S > 2d (*)
Ta có: S\(⋮\)a => S = m.a (m\(\in\)N) (1)
S\(⋮\)b => S = n.b (n\(\in\)N) (2)
S\(⋮\)c => S = p.d (p\(\in\)N) (3)
S\(⋮\)d => S = q.d (q\(\in\)N) (4) . Từ (4) và (*) suy ra q.d > 2d => q > 2
Vì a < b < c < d (theo giả sử) nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra m > n > p > q > 2
Do đó q\(\ge\)3; p\(\ge\)4; n\(\ge\)5; m\(\ge\)6
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra 1/m = a/S; 1/n = b/S; 1/p = c/S; 1/q = d/S
Ta có: \(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\ge\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{a+b+c+d}{S}=1\)
hay \(\frac{19}{20}\ge1\)(vô lí)
Vậy tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau (đpcm)
20 tháng 4 2020
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)< 10\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}< 7\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}< 7\)
Không giảm tổng quá .Giả sử a là cạnh lớn nhất .Giả b + c < a => 0 < \(\frac{b+c}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}>\frac{2c+b}{b}+\frac{2b+c}{c}+\frac{b+c}{a}\)( không chắc lắm )
= \(\frac{2c}{b}+\frac{2b}{c}+\frac{b+c}{a}+2\)
=\(\frac{2\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{b+c}{a}-2>7\left(VL\right)\)
=>b+ c > a => a ; b ; c là 3 cạnh tam giác ( đpcm )
Gán giá trị: a = b = c = d = 1
Ta có, giá trị phải thỏa mãn điều kiện \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow1^4+1^4+1^4+1^4=1+1+1+1\)
\(=4\) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)
\(\RightarrowĐPCM\)
Ps: Làm xàm chút thôi! nhưng vẫn có thể đúng!
áp dụng bất đẳng thức a2+b2\(\ge\)2ab, dấu bằng xảy ra khi a=b
Ta có a4+b4\(\ge\)2a2b2,dấu bằng xảy ra khi a=b
c4+d4\(\ge\)2c2d2,dấu bằng xảy ra khi c=d
a2b2+c2d2\(\ge\)2abcd,dấu bằng xảy ra khi ab=cd
Vậy a4+b4+c4+d4\(\ge\)2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)\(\ge\)2.2abcd=4abcd
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\ab=cd\end{cases}}\)suy ra a=b=c=d suy ra a,b,c,d là 4 cạnh của 1 hình thoi