Question

[Trần Lê Bảo Ngọc]

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 thoả mãn n+1 và 2n+1 đồng thời là hai số chính phương . Chứng minh rằng n chia hết cho 24.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Đặt $n+1=a^2$ và $2n+1=b^2$ với $a,b$ là số tự nhiên

$\Rightarrow 2a^2-1=b^2$

Nếu $a\vdots 3$ thì $b^2=2a^2-1\equiv -1\equiv 2\pmod 3$ (vô lý do 1 scp không chia 3 dư 2)

$\Rightarrow a$ không chia hết cho 3

$\Rightarrow a^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow n+1\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow n\equiv 0\pmod 3$ hay $n$ chia hết cho 3 (1)

Mặt khác:

$b^2=2a^2-1$ lẻ nên $b$ lẻ. Đặt $b=2k+1$ với $k$ tự nhiên.

$2a^2-1=(2k+1)^2=4k^2+4k+1$

$\Rightarrow 2a^2=4k^2+4k+2$

$\Rightarrow a^2=2k^2+2k+1$. Do đó $a$ lẻ. Đặt $a=2m+1$ với $m$ tự nhiên.

Khi đđ:

$n+1=(2m+1)^2=4m^2+4m+1\Rightarrow n=4m^2+4m=4m(m+1)$
Hiển nhiên $m(m+1)$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên $m(m+1)\vdots 2$

$\Rightarrow n=4m(m+1)\vdots 8(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow n\vdots 24$. Ta có đpcm.