Cho C = 1/3 +(1/3)^2b + (1/3)^2 + (1/3)^3 + ... (1/3)^99
CMR C < 1/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TV
2
30 tháng 4 2016
+) chứng minh 1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1=1
<=> abc/ab+b+abc + abc/bc+c+abc + 1/ac+a+1
<=> ac/ac+a+1 + ab/b+1+ab + 1/ac+a+1
<=> ac+a+1/ac+a+1
<=> 1
+) xét: a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 >= 2ab+2b+2<=1/2(ab+b+1) (1)
chứng minh tương tự:1/ b^2+2c^2+3 <= 1/2(bc+c+1) (2)
1/ c^2+2a^2+3 <= 1/2(ac+a+1) (3)
cộng các vế của (1),(2),(3) ta duoc: 1/(a^2+2b^2+3) + 1/(b^2+2c^2+3) + 1/(c62+2a^2+3) <= 1/2.(1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1)=1/2 (đpcm)
LC
30 tháng 4 2016
mình làm rồi, bạn vào đây tham khảo nha: http://olm.vn/hoi-dap/question/559729.html
ND
1
PN
8 tháng 4 2016
Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho từng cặp số không âm, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\) \(\left(1\right)\)
\(b^2+1\ge2b\) \(\left(2\right)\)
Cộng \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(a^2+2b^2+1\ge2ab+2b\)
\(\Rightarrow\) \(a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2\)
Vì hai vế của bất đẳng thức trên cùng dấu (do \(a,b,c>0\)) nên ta nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(b\) \(\rightarrow\) \(c\) \(\rightarrow\) \(a\) \(\rightarrow\) \(b\), ta có:
\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\ge\frac{1}{2bc+2c+2}\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\ge\frac{1}{2ca+2a+2}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(VT\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ca+2a+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\) \(\left(\text{*}\right)\)
Mặt khác, xét từng phân thức \(\frac{1}{ab+b+1};\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{ca+a+1}\) kết hợp với giả thiết đã cho, nghĩa là \(abc=1,\) ta có:
\(\frac{1}{ab+b+1};\) \(\frac{1}{bc+c+1}=\frac{abc}{bc+c+abc}=\frac{ab}{ab+b+1}\) và \(\frac{1}{ca+a+1}=\frac{abc}{ca+a+abc}=\frac{bc}{bc+c+1}=\frac{bc}{bc+c+abc}=\frac{b}{ab+b+1}\)
Do đó, \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1\) \(\left(\text{**}\right)\)
Từ \(\left(\text{*}\right)\) và \(\left(\text{**}\right)\) suy ra \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
NM
0
ND
1
NN
24 tháng 8 2023
\(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}\)
\(=\left(1+2+2^2\right)+\left(2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}\right)+2^{99}\)
\(=7+2^3\left(1+2+2^2\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2\right)+2^{99}\)
\(=7+2^3.7+...+2^{96}.7+2^{99}\)
\(=7\left(1+2^3+...+2^{96}\right)+2^{99}\)
Vì \(7⋮7=>7\left(1+2^3+...+2^{96}\right)⋮7\) mà \(2^{99}⋮̸7\)
\(=>A⋮̸7\)
PT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 2 2017
Lời giải:
Áp dụng bđt AM-GM:
\(a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2\geq 2(ab+b+1)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2(ab+b+1)}\). Tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=A\)
Dựa vào đk \(abc=1\) dễ thấy \(A=1\).
Cách CM:
\(A=\frac{c}{1+bc+c}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{c+1}{bc+c+1}+\frac{bc}{c+1+bc}=1\) (đpcm)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NH
1
TN
5 tháng 6 2017
Do \(a,b< 1\Rightarrow a^3< a^2< a< 1;b^3< b^2< b< 1\)Ta có:\(\left(1-a^2\right)\left(1-b\right)>0\Rightarrow1+a^2b>a^2b\)
\(\Rightarrow1+a^2b>a^3+b^3haya^3+b^3< 1+a^2b\)Tương tự \(b^3+c^3< 1+b^2c;c^3+a^3< 1+c^2a\)
\(\Rightarrow2a^3+2b^3+2c^3< 3+a^2b+b^2c+c^2a\)
NN
24 tháng 4 2019
a) Ta có: a>b => 2a > 2b (nhân 2 vế với 2)
=> 2a - 3 > 2b - 3 (cộng 2 vế với -3)
b) Ta có: -4a+1 < -4b+ 1 => -4a < -4b ( cộng 2 vế với -1)
=> a > b (nhân 2 vế với -1/4)
c) Ta có: 3-4a < 5c+2 => 3-4a-3 < 5c+2-3 (cộng 2 vế với -3)
=> -4a < 5c-1
Mà 5c-1 < -4b nên -4a < -4b => a > b (nhân cả 2 vế với -1/4)
NT
1
27 tháng 1 2020
Do \(a,b< 1\Rightarrow a^3< a^2< a< 1\)
\(b^3< b^2< b< 1\)
Ta có :
\(\left(1-a^2\right)\left(1-b\right)>0\)
\(\Rightarrow1+a^2b>a^2b\)
\(\Rightarrow1+a^2b>a^3+b^3\) hay \(a^3+b^3< 1+a^2b\)
Tương tự
\(b^3+c^3< 1+b^2c\)
\(c^3+a^3< 1+c^2a\)
\(\Rightarrow2a^3+2b^3+2c^3< 3+a^2b+b^2c+c^2a\)