Bài 1: Cho a, b cùng dấu. Chứng minh rằng: \(\left(\frac{a^2 b^2}{2}\right)^3\le\left(\frac{a^3 b^3}{2}\right)^2\)Bài 2: Cho \(a^2 b^2\ne0\). Chứng minh rằng: \(\frac{2ab}{a^2 4b^2} \frac{b^2}{3a^2 2b...

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)

áp dụng (x² +y² +z²)(m²+n²+p²) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a²bc +b²c² + 2b²ac+a²c² + 2c²ab+a²b²). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)². VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

Đúng(0)

HF

HD Film

21 tháng 10 2019

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

Đúng(0)

NT

Nghiêm Thị Nhân Đức

25 tháng 2 2020

1, cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(a+2c\right)}\) 2,cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 chứng minh rằng \(1\le x\le\frac{7}{3}\) 3, cho a,b,c>0 chứng minh rằng\(\frac{a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{b^2}{2b^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{c^2}{2c^2+\left(b+a-c\right)^2}\le1\) 4,cho a,b,c là các số thực bất kỳ chứng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

CM

Copxki Minh

2 tháng 12 2020

Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)

\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)

\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Đúng(0)

TH

Thúy Hiền Nguyễn

11 tháng 7 2020 - olm

Với các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3abc, chứng minh rằng: \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4>=3a^4b^4c^4\)Với các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: \(\frac{a^5}{bc^2}+\frac{b^5}{ca^2}+\frac{c^5}{ab^2}>=a^2+b^2+c^2\)Với các số dương a, b, c. Chứng minh...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

3

PM

Phùng Minh Quân

13 tháng 7 2020

\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)

Đúng(0)

PM

Phùng Minh Quân

13 tháng 7 2020

\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)

\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)

Đúng(0)

D

Duyên

6 tháng 6 2020 - olm

a) Chứng minh hằng đẳng thức sau :

\(\frac{1}{a-2b}+\frac{6b}{4b^2-a^2}-\frac{2}{a+2b}=-\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}+1\right)\)

b) Chứng minh hằng đẳng thức Ơle sau :

\(a^3+b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)

#Toán lớp 8

1

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

6 tháng 6 2020

a) Biến đổi VT . Mẫu chung là ( a + 2b )( a - 2b )

\(VT=\frac{a+2b-6b-2\left(a-2b\right)}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 1 )

Biến đổi VP

\(-\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}+1\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{a^2+4b^2+a^2-4b^2}{a^2-4b^2}\)

\(=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP ( đpcm )

b) \(a^3+b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)

<=> \(b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)-a^3\)( * )

Biến đổi VT của ( * ) ta có :

\(VT=\left[b+\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right]\left[b^2-\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}+\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}\right]\)

\(=\frac{3a^3b}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^6b^2+3a^3b^5+3b^8}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 1 )

\(VP=\left[\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}-a\right]\left[\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}+\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}+a^2\right]\)

\(=\frac{3ab^3}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^8+3a^5b^3+3a^2b^6}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP => ( * ) đúng

=> Hằng đẳng thức đúng

Đúng(0)

TN

Tiến Nguyễn Minh

3 tháng 10 2019 - olm

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{a+b+4c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b+c+4a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c+a+4b}{c+a}}\ge3\sqrt{3}.\)Bài 2:Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng:\(\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\frac{2b}{bc+1}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\frac{2c}{ca+1}\right)^2}\ge3.\)Giúp mình với! Mình cần...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

2

CM

Copxki Minh

23 tháng 11 2020

1)

Ta có: \(M=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+b+4c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\frac{3\left(a+b\right)+\left(a+b+4c\right)}{2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Đúng(0)

CM

Copxki Minh

24 tháng 11 2020

2)

\(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\sqrt[3]{2a\left(ab+1\right)^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\frac{2a+\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)}{3}}=3\Sigma_{cyc}\frac{a}{ab+a+1}\)

Ta có bổ đề: \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\left(abc=1\right)\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}\ge3\)

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thị Minh Nguyệt

29 tháng 9 2017 - olm

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.

Chứng minh rằng:

\(\left(\frac{2a+2b-c}{a+b+4c}\right)^3+\left(\frac{2b+2c-a}{b+c+4a}\right)^3+\left(\frac{2c+2a-b}{c+a+4b}\right)^3\ge\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

#Toán lớp 9

2

T

tth_new

6 tháng 9 2020

Bài này không đúng nhé. Với a = b = c = 1 thì bất đẳng thức sai. Tuy nhiên bài này đúng theo chiều ngược lại.

Đúng(0)

PN

Phan Nghĩa

7 tháng 9 2020

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau đây \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Đặt \(\left\{2a+2b-c;2b+2c-a;2c+2a-b\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)

Vì a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác nên x,y,z dương

Ta có : \(x^2+y^2+z^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(x+y=c+a+4b\); \(y+z=a+b+4c\); \(z+x=b+c+4a\)

Bất đẳng thức cần chứng minh quy về : \(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^3.x\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{x^4}{4}}=2\frac{x^2}{2}=x^2\)

\(\frac{y^3}{x+z}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^3.y\left(x+z\right)}{\left(x+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{y^4}{4}}=2\frac{y^2}{2}=y^2\)

\(\frac{z^3}{x+y}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^3.z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)4}}=2\sqrt{\frac{z^4}{4}}=2\frac{z^2}{2}=z^2\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx+xy+yz+zx}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx}{2}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

Sử dụng bất đẳng thức phụ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)khi đó ta được :

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{y+x}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z< =>a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đúng(0)

NA

Nguyễn Anh Tuấn

8 tháng 7 2016 - olm

1. Cho a,b,c là ba số dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{a+b+c}{6}\)

2. Cho ba số thực dương a,b,c thoản mãn abc=1. Chứng minh rằng:

\(\frac{4a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{4b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{4c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge3\)

#Toán lớp 9

2

VD

vu duc thanh

8 tháng 7 2016

bài 2 thì bạn áp dụng bdt cô si với lựa chọn điểm rơi hoặc bdt holder ( nó giống kiểu bunhia ngược ) . bai 1 thi ap dung cai nay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{1}{x+y}\) câu 1 khó hơn nhưng bạn biết lựa chọn điểm rơi với áp dụng bdt phụ kia là ok .

Đúng(0)

TN

Thắng Nguyễn

9 tháng 7 2016

Bài 1:Đặt VT=A

Dùng BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)x,y,z>0\)

Áp dụng vào bài toán trên với x=a+c;y=b+a;z=2b ta có:

\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)

Tương tự với 2 cái còn lại

\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài 2:

Biến đổi BPT \(4\left(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\right)\ge3\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Dự đoán điểm rơi xảy ra khi a=b=c=1

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

Tương tự suy ra

\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\ge\frac{2\cdot3\sqrt{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}\)

Đúng(0)

H

hhhhh

25 tháng 8 2020 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương, Chứng minh rằng \(\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{4a^3+\left(b+c\right)^3}+\frac{\left(2b+a+c\right)^2}{4b^3+\left(a+c\right)^3}+\frac{\left(2c+a+b\right)^2}{4c^3+\left(a+b\right)^3}\)

#Toán lớp 9

0

DT

Đinh Thị Ngọc Anh

18 tháng 9 2016 - olm

Bài 1: Cho a,b>0. Chứng minh \(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}< \sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\)Bài 2: Cho a,b>0. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+b}}\)Bài 3: Cho a,b,c>0. Chứng minh \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP