cho a,b,c >0 và abc=1.
CMR:\(\frac{a}{\sqrt{8c^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{8a^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{8b^3+1}}\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CB
5 tháng 6 2019
Có: \(\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2a+1\right)\left(4a^2-2a+1\right)}}\ge\frac{1}{\frac{\left(2a+1\right)+\left(4a^2-2a+1\right)}{2}}=\frac{1}{2a^2+1}\)
( Sử dụng bđt: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\))
Tường tự rồi cộng lại:
\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{9}{9}=1\)
Vậy...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2020
\(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+12ab+2ab}}\ge\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+9b^2+12ab+a^2+b^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}}=\frac{a^2}{2a+3b}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
8 tháng 12 2017
Chứng minh BĐT phụ: \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\) với \(x;y>0\) (*)
Ta có: \(3a^2+8b^2+14ab\)
\(=\left(3a^2+12ab\right)+\left(2ab+8b^2\right)\)
\(=3a\left(a+4b\right)+2b\left(a+4b\right)\)
\(=\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\le\frac{3a+2b+a+4b}{2}=2a+3b\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}\ge\frac{b^2}{2b+3c}\)
\(\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\frac{c^2}{2c+3a}\)
Áp dụng (*), ta có:
\(VT\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Vậy \(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 2 2020
\(VT=\frac{1}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}}\)
\(VT\ge\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\)
Do \(abc=8\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{2x}{y}\\b=\frac{2y}{z}\\c=\frac{2z}{x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{y^2}{2x^2+y^2}+\frac{z^2}{2y^2+z^2}+\frac{x^2}{2z^2+x^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{x^4}{x^4+2x^2z^2}+\frac{y^4}{y^4+2x^2y^2}+\frac{z^4}{z^4+2y^2z^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
25 tháng 2 2017
Ta có: \(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\le2a+3b\)
Khi đó \(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\), tương tự cho ta cũng có:
\(\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}\ge\frac{b^2}{2b+3c};\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\frac{c^2}{2c+3a}\)
Cộng theo vế ta có: \(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\)
\(\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)
KK
25 tháng 2 2017
\(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+12ab+8b^2+2ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+12bc+8c^2+2bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+12ca+8a^2+2ca}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{\sqrt{3a\left(a+4b\right)+2b\left(4b+a\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b\left(b+4c\right)+2c\left(4c+b\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c\left(c+4a\right)+2a\left(4a+c\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{\sqrt{\left(a+4b\right)\left(3a+2b\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(b+4c\right)\left(3b+2c\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(c+4a\right)\left(3c+2a\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{\left(a+4b\right)\left(3a+2b\right)}\le\frac{4a+6b}{2}\\\sqrt{\left(b+4c\right)\left(3b+2c\right)}\le\frac{4b+6c}{2}\\\sqrt{\left(c+4a\right)\left(3c+2a\right)}\le\frac{4c+6a}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a^2}{\sqrt{\left(a+4b\right)\left(3a+2b\right)}}\ge\frac{2a^2}{4a+6b}\\\frac{b^2}{\sqrt{\left(b+4c\right)\left(3b+2c\right)}}\ge\frac{2b^2}{4b+6c}\\\frac{c^2}{\sqrt{\left(c+4a\right)\left(3c+2a\right)}}\ge\frac{2c^2}{4c+6a}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{2a^2}{4a+6b}+\frac{2b^2}{4b+6c}+\frac{2c^2}{4c+6a}\)
Chứng minh rằng \(\frac{2a^2}{4a+6b}+\frac{2b^2}{4b+6c}+\frac{2c^2}{4c+6a}\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a^2}{4a+6b}+\frac{b^2}{4b+6c}+\frac{c^2}{4c+6a}\right)\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{a^2}{4a+6b}+\frac{b^2}{4b+6c}+\frac{c^2}{4c+6a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{10\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a^2}{4a+6b}+\frac{b^2}{4b+6c}+\frac{c^2}{4c+6a}\right)\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{10\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a^2}{4a+6b}+\frac{b^2}{4b+6c}+\frac{c^2}{4c+6a}\right)\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Vậy \(\frac{2a^2}{4a+6b}+\frac{2b^2}{4b+6c}+\frac{2c^2}{4c+6a}\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Mà \(VT\ge\frac{2a^2}{4a+6b}+\frac{2b^2}{4b+6c}+\frac{2c^2}{4c+6a}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
( đpcm )
2 tháng 7 2020
Ta có \(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(1-2a+4a^2\right)}\le\frac{1+2a+1-2a+4a^2}{2}=1+2a^2\)(BĐT AM-GM)
Tương tự cho \(\sqrt{1+8b^2};\sqrt{1+8c^2}\)ta được \(P\ge\frac{1}{1+2a^2}+\frac{1}{1+2b^2}+\frac{1}{1+2c^2}\)
Mặt khác \(\frac{1}{1+2a^2}=\frac{1}{1+2a^2}+\frac{1+2a^2}{9}-\frac{1+2a^2}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2a^2}\cdot\frac{1+2a^2}{9}}-\frac{2}{9}a^2-\frac{1}{9}=\frac{5-2a^2}{9}\)
Khi đó: \(P\ge\frac{5-2a^2}{9}-\frac{5-2b^2}{9}-\frac{5-2c^2}{9}\) \(=\frac{15-2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}=\frac{15-2\cdot3}{9}=1\)
Vậy Min P=1
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=3\\1+2a=1-2a+4a^2\\\frac{1}{1+2a^2}=\frac{1+2a^2}{9}\end{cases}}\)và vai trò a,b,c như nhau hay (a,b,c)=(1,1,1)
DN
3 tháng 4 2021
bài tập toán cuối tuần lớp 3 , trang 4 cho các số 2 ,3 , 4, 5 .
a , hãy viết tất cả các số có 4 chữ số khác nhau , trong đó chữ số hàng nghìn là 2
b ,xếp các số theo thứ tự từ lớn đến bé
c , xếp các số theo thứ tư từ bé đến lớn
21 tháng 10 2017
bài 2
ta có \(\left(\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\right)^2\)
\(=\left(\sqrt{a}.\sqrt{\frac{8a^2+1}{a}}+\sqrt{b}.\sqrt{\frac{8b^2+1}{b}}+\sqrt{c}.\sqrt{\frac{8c^2+1}{c}}\right)^2\)\(=\left(A\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có;
\(\left(A\right)\le\left(a+b+c\right)\left(8a+\frac{1}{a}+8b+\frac{1}{b}+8c+\frac{8}{c}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(9a+9b+9c\right)=9\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\)(đpcm)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)