Question

[phương]

 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

ΔODE cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)DE

Xét tứ giác ABKO có \(\widehat{ABO}=\widehat{AKO}=90^0\)

nên ABKO là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD

\(\widehat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

Do đó: \(\widehat{ABD}=\widehat{BED}\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot OA=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔABD và ΔAEB có

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)

\(\widehat{BAD}\) chung

DO đó: ΔABD~ΔAEB

=>\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\)

=>\(AB^2=AE\cdot AD\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(AH\cdot AO=AE\cdot AD\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

c.

Do I là giao điểm 2 tiếp tuyến tại C và D, theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(\widehat{DOI}=\widehat{COI}\Rightarrow\widehat{DOI}=\dfrac{1}{2}\widehat{DOC}\) (1)

Gọi F là giao điểm BD và OQ

Ta có: \(QB=QD\) (do Q là giao 2 tiếp tuyến tại B và D)

\(OB=OD=R\) 

\(\Rightarrow OQ\) là trung trực của BD \(\Rightarrow OQ\perp BD\) tại F 

\(\Rightarrow\widehat{BFO}=\widehat{BHO}=90^0\Rightarrow BFHO\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{HOF}\) (cùng chắn HF) (2)

Mà \(\widehat{CBD}=\dfrac{1}{2}\widehat{DOC}\) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn DC của (O))  (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{HOF}=\widehat{DOI}\)

\(\Rightarrow\widehat{QOD}+\widehat{DOH}=\widehat{AOI}+\widehat{DOH}\)

\(\Rightarrow\widehat{QOD}=\widehat{AOI}\) (đpcm)