Question

[Nguyễn Ngọc Đạt]

Cho △ABC vuông tại C có A bằng 60 độ. Tia phân giác góc BAC cắt BC tại E. Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại K (K thuộc AB). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với tia AE cắt AE tại D (D thuộc AE). Chứng minh rằng:
a)AC=AK và AE vuông góc với CK
b)KA=KB
c)EB>AC
d)AC,BD,KE cùng đi qua 1 điểm

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)

Do đó: ΔACE=ΔAKE

=>AC=AK và EC=EK

AC=AK

nên A nằm trên đường trung trực của CK(1)

EC=EK

=>E nằm trên đường trung trực của CK(2)

Từ (1),(2) suy ra AE là đường trung trực củaCK

=>AE\(\perp\)CK

b: Xét ΔABC vuông tại C có \(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

=>\(\widehat{CBA}+60^0=90^0\)

=>\(\widehat{CBA}=30^0\)

AE là phân giác của góc CAB

=>\(\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=30^0\)

Xét ΔEAB có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\left(=30^0\right)\)

nên ΔEAB cân tại E

ΔEAB cân tại E

mà EK là đường cao

nên K là trung điểm của AB

=>KA=KB

c: Ta có: EB=EA

mà EA>AC(ΔEAC vuông tại C)

nên EB>AC

d: Xét ΔMAB có

AD,BC là các đường cao

AD cắt BC tạiE

Do đó: E là trực tâm của ΔMAB

=>ME\(\perp\)AB

mà EK\(\perp\)AB

và ME,EK có điểm chung là E

nên M,E,K thẳng hàng

=>AC,BD,KE đồng quy