Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 3
CMR : \(abc+\frac{12}{ab+bc+ca}\ge5\)
Trong chuyên mục phương pháp DÙNG P, Q, R
Dùng cái khác cùng đc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ZT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 6 2021
\(3=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)
BĐT tương đương:
\(3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+6\right]\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[15-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(2abc+3\right)\ge15abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left(2abc+3\right)^2\ge225\left(abc\right)^2\)
Do \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)=9abc\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(2abc+3\right)^2\ge25abc\)
\(\Leftrightarrow\left(1-abc\right)\left(9-4abc\right)\ge0\) (luôn đúng với \(0< abc\le1\))
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
2 tháng 6 2019
Anh làm cách cosi
\(VT^2=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(b^2+a^2+c^2\right)\)
Ta có \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\)
\(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2c^2\)=> \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\ge2c^2\)
=> \(VT^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)
=> \(VT\ge3\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c1
CB
2 tháng 6 2019
xD
Có: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge3\)(1)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3-3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}\ge0\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}ab=x\\bc=y\\ac=z\end{cases}\left(x,y,z>0\right)}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{\left(abc\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]}{\left(abc\right)^2}\ge0\)(đúng)
Vậy ........... dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z hay a=b=c=1
WH
3 tháng 4 2018
Cách I:(((dành cho nhũng ai biết HĐT a³ + b³ + c³ = [(a + b + c)(a² + b²+ c²-ab-bc-ca)+3abc])))
Ta có:
bc/a²+ac/b²+ ab/c²=abc/a³+abc/b³+abc/c³
=abc(1/a³ + 1/b³ + 1/c³)
=abc[(1/a + 1/b + 1/c)(1/a² + 1/b²+ 1/c²-1/ab-1/bc-1/ca)+3/abc](áp dụng HĐt trên)
=abc.3/(abc)=3
Cách II:
Từ giả thiết suy ra:
(1/a +1/b)³=-1/c³
=>1/a³+1/b³+1/c³=-3.1/a.1/b(1/a+1/b)=3...
=>bc/a²+ac/b²+ ab/c²=abc/a³+abc/b³+abc/c³
=abc(1/a³ + 1/b³ + 1/c³)
=abc.3/(abc)=3
Mik ko biết có đúng ko??
19 tháng 12 2016
Từ \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a\cdot a+a\cdot a+a\cdot a}{a^2+a^2+a^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
T
29 tháng 12 2016
theo bài ra ta có:
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
=> \(\frac{abc}{c\left(a+b\right)}=\frac{abc}{a\left(b+c\right)}=\frac{abc}{b\left(c+a\right)}\)
=> \(\frac{abc}{ca+cb}=\frac{abc}{ab+ac}=\frac{abc}{bc+ba}\)
vì a,b,c khác 0 => ca+cb = ab+ac = bc+ba
=> a = b = c
ta có:
\(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
vậy M = 1
N
9 tháng 12 2018
\(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow ab.\left(b+c\right)=\left(a+b\right).bc\Rightarrow abb+abc=abc+bbc\Rightarrow a=c\\\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow\left(c+a\right).bc=\left(b+c\right).ca\Rightarrow bcc+abc=abc+cca\Rightarrow a=b\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)
\(M=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
p/s: bài này có nhiều cách lắm, cách này ko đc thì thử làm cách khác =))
9 tháng 12 2018
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow ab\left(b+c\right)=\left(a+b\right)bc\)
\(\Rightarrow ab^2+abc=abc+b^2c\Rightarrow ab^2=b^2c\Rightarrow a=c\) (1)
\(\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow bc\left(c+a\right)=\left(b+c\right)ca\)
\(\Rightarrow bc^2+bca=bca+c^2a\Rightarrow bc^2=c^2a\Rightarrow b=a\)(2)
Từ (1) và (2) được a = b = c
Khi đó:
\(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
schur à
ra rồi khỏi