Cho 3 sô thực dương a, b, c thỏa mãn \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\dfrac{3}{2}\)
CMR \(a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 6 2021
Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn
Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>
TN
10 tháng 9 2017
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
19 tháng 7 2016
Đặt \(m=a^2+b^2+c^2,m\ge0\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
\(\frac{9}{4}=\left(a.\sqrt{1-b^2}+b.\sqrt{1-c^2}+c.\sqrt{1-a^2}\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(3-a^2-b^2-c^2\right)\)
\(\Rightarrow m\left(3-m\right)\ge\frac{9}{4}\) \(\Leftrightarrow\left(m-\frac{3}{2}\right)^2\le0\) mà ta luôn có \(\left(m-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)
Do đó \(\left(m-\frac{3}{2}\right)^2=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2022
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
10 tháng 12 2021
Có \(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)
\(b\sqrt{1-c^2}=\sqrt{b^2\left(1-c^2\right)}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)
\(c\sqrt{1-a^2}=\sqrt{c^2\left(1-a^2\right)}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)
=> \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\)
<=> \(a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\)
WR
3 tháng 9 2017
\(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\) < hoặc = \(\frac{a^2-1+b^2}{2}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{b^2\left(1-c^2\right)}\)< hoặc = \(\frac{b^2+1-c^2}{2}\),\(\sqrt{c^2\left(1-a^2\right)}\)< hoặc = \(\frac{c^2+1-a^2}{2}\)
=> VT < hoặc = \(\frac{b^2+1-a^2+a^2+1-c^2+c^2+1-b^2}{2}=\frac{3}{2}\)
Mà \(VP=\frac{3}{2}\)
Khi đó dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=1-b^2\\c^2=1-a^2\\b^2=1-c^2\end{cases}\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}}\)