Tìm min \(P=x^2+4y^2+\dfrac{75}{x}+\dfrac{1}{y}\). Biết \(x,y>0;x+y>=6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 8 2021
Ta chứng minh BĐT sau:
Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 1
\(1=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{x+y}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1+\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 8 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2\geq \frac{1}{3}.(\frac{9}{x+y+z})^2=\frac{27}{(x+y+z)^2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{27}{(x+y+z)^2}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{1}{3(x+y+z)^2}\geq \frac{2}{3}\)
\(\frac{80}{3(x+y+z)^2}\geq \frac{80}{3}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{2}{3}+\frac{80}{3}=\frac{82}{3}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{82}{3}$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 5 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$P=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2-\frac{17}{6}$
$=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}-\frac{5}{6}$
$=(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2})+\frac{255}{256x^2y^2}-\frac{5}{6}$
$\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255}{256.\frac{1}{4^2}}-\frac{5}{6}=\frac{731}{48}$
Vậy $P_{\min}=\frac{731}{48}$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
13 tháng 12 2021
\(P=\sum\dfrac{1}{x+y+1}\ge\dfrac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{2.1+3}=\dfrac{9}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
B
3
3 tháng 7 2021
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel có:
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=\(\dfrac{1}{2}\)
3 tháng 7 2021
áp dụng BDT AM-GM
\(=>x+y\ge2\sqrt{xy}=>1\ge2\sqrt{xy}=>\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{2}=>xy\le\dfrac{1}{4}\)
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+\dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2=4+2=6\)
dấu"=" xảy ra \(< =>x=y=\dfrac{1}{2}\)
N
5
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 9 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$A\geq \frac{9}{x+2+y+2+z+2}=\frac{9}{x+y+z+6}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)\geq (x+y+z)^2$
$\Rightarrow 9\geq (x+y+z)^2\Rightarrow x+y+z\leq 3$
$\Rightarrow A\geq \frac{9}{x+y+z+6}\geq \frac{9}{3+6}=1$
Vậy $A_{\min}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
\(2P=2x^2+8y^2+\dfrac{150}{x}+\dfrac{2}{y}\)
\(=\dfrac{7}{5}x^2+7y^2+\left(\dfrac{3}{5}x^2+\dfrac{75}{x}+\dfrac{75}{x}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Ta có: \(\left(5+1\right)\left(x^2+5y^2\right)\ge5\left(x+y\right)^2\Rightarrow\dfrac{7\left(x^2+5y^2\right)}{5}\ge\dfrac{7\left(x+y\right)^2}{6}\ge42\)
\(\Rightarrow2P\ge42+3\sqrt[3]{\dfrac{3.75^2.x^2}{5x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{y^2}}=90\)
\(\Rightarrow P\ge45\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(5;1\right)\)