Cho a,b>0.t/m:a+b=2.C/m: A=\(\frac{a}{b^2+1}\)+\(\frac{b}{a^2+1}\)\(\ge\)1
;
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
13 tháng 2 2020
Mấy cái dấu "=" anh tự xét.
Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)
a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 8 2020
1.
\(P=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{5x}{2}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}+\frac{5}{2}.1=\frac{7}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
2.
\(P=\frac{a}{100}+\frac{1}{a}+\frac{b}{10000}+\frac{1}{b}+\frac{c}{1000^2}+\frac{1}{c}+\frac{99}{100}a+\frac{9999}{10000}b+\frac{999999}{1000000}c\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{a}{100a}}+2\sqrt{\frac{b}{10000b}}+2\sqrt{\frac{c}{1000000c}}+\frac{99}{100}.10+\frac{9999}{10000}.100+\frac{999999}{1000000}.1000=...\)
Bạn tự bấm máy tính
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=10\\b=100\\c=1000\end{matrix}\right.\)
3.
\(VT=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{8ab}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}+\frac{8ab}{\left(a+b\right)^2}\ge2\sqrt{\frac{8ab\left(a+b\right)^2}{2ab\left(a+b\right)^2}}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
17 tháng 8 2019
\(VT=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\)
\(=1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\)
\(=3-\left(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(VT\ge3-\left(\frac{a^2}{2a}+\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}\right)=3-\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)\)
\(=3-\frac{a+b+c}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
17 tháng 8 2019
\(ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2\\ \Rightarrow3\left(ab+ac+bc\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)\\ \Rightarrow3\left(ab+ac+bc\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\\ \Rightarrow ab+ac+bc\le3\\ \Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)\le6\)
Áp dụng BDT Cô-si với 3 số dương:
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{9}{a^2+1+b^2+1+c^2+1}\\ =\frac{9}{a^2+b^2+c^2+3}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+6-3}\\ \ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)-3}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2-3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
D
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 10 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{2}{ab};\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{bc}; \frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{ac}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}\)
Để bài toán được giải quyết ta sẽ CM: \(\frac{3}{abc}\geq a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq 3(*)\)
Thật vậy, theo BĐT AM-GM và các hệ quả của nó:
\(9abc=3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ac)^2\)
\(\Rightarrow 9abc(a^2+b^2+c^2)\leq (ab+bc+ac)^2(a^2+b^2+c^2)\)
Mà: \((ab+bc+ac)^2(a^2+b^2+c^2)\leq \left(\frac{ab+bc+ac+ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2}{3}\right)^3=\frac{(a+b+c)^6}{27}=27\)
\(\Rightarrow 9abc(a^2+b^2+c^2)\leq 27\Rightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq 3\)
BĐT $(*)$ được cm. Bài toán hoàn tất.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
HP
15 tháng 10 2020
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
B
18 tháng 9 2015
a)Bạn đặt A = a/ (1 + a^2). => A + a^2A = a => a^2A - a + A = 0. ta có delta = 1 - 4A^2 ( gọi ẩn số là a). => để pt có nghiệm <=> 1 - 4A^2 >= 0 => để phương trình có nghiệm => 1 - 4A^2 >= 0 => 1 >= 4A^2 => A =< 1/2. => max A = 1/2. bạn giải tương tự B = b/(1+b^2), C = c/(1 + c^2) rồi cộng vào nhau là ra ngay thôi. Đây là cách giải bằng delta.
b)bạn có (a^2 - b^2)/c = ((a+b)(a-b))/c >= (c + c)(a-b)/c = 2(a - b). Bạn có c =< b ( theo đề bài) = > c + b =< 2b => (c + b) =<2b => (c + b)/b <= 2 => (c + b)/a <= 2. từ đó ta có (c^2 - b^2)/a = (c -b )(c + b)/a >= 2(c - b).
chứng minh tương tự:(a + c)/b > 1 => (a^2 - c^2)/b >= a - c.( sr ngại gõ lắm) => cộng 3 vế ta được đpcm
\(\left(a+b\right)^2=4\ge4ab\Leftrightarrow ab\le1\)
\(A=\frac{b}{a^2+1}+\frac{a}{b^2+1}=\frac{2}{a^2+1}-\frac{a}{a^2+1}+\frac{2}{b^2+1}-\frac{b}{b^2+1}\)
\(\ge\frac{4}{ab+1}-\frac{a}{2a}-\frac{b}{2b}\ge\frac{4}{1+1}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1\)