cm x^3m+1 + x^3n+2 +1 chia hết cho x^2+x+1 với mọi n,m
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NC
3
3 tháng 4 2015
Ta có:\(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x^{3m}x-x+3^{3n}-x^2+x^2+x+1=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^n-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)Ta lại có: (Hằng đẳng thức)
\(a^n+b^n=\left(a+b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)\)chia hết cho a+b
=>\(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho \(x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)chia hết cho \(x^2+x+1\)
và \(\left(x^3\right)^n-1\)chia hết cho \(x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)chia hết cho \(x^2+x+1\)
mà \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x^{3m}x-x+3^{3n}-x^2+x^2+x+1=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^n-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
=> \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\) chia hết cho \(x^2+x+1\)
_________________________________________________________________________________
7 tháng 1 2019
Xét
\(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1-\left(x^2+x+1\right)\)
\(=x^{3m}.x+x^{3n}.x^2+1-x^2-x-1\)
\(=x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)\)
Do \(x^{3m}-1=\left(x^3\right)^m-1^m⋮x^3-1⋮x^2+x+1\)
\(x^{3n}-1=\left(x^3\right)^n-1^n⋮x^3-1⋮x^2+x+1\)
\(\Rightarrow x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)⋮x^2+x+1\)
\(\Rightarrow x^{3m+1}+x^{3n+2}+1-\left(x^2+x+1\right)⋮x^2+x+1\)
\(\Rightarrow x^{3m+1}+x^{3n+2}+1⋮x^2+x+1\)
P
2
9 tháng 7 2016
1./ Khẳng định 1: Với mọi p tự nhiên > 0, ta đều có: yp - 1 = (y - 1)*(yp-1 + yp-2 + yp-3 +... + y + 1)
Hay yp - 1 chia hết cho y - 1 với mọi y nguyên > 1.
2./ Nếu m = n = 0 thì hiển nhiên x3*0+1 + x3*0+2 + 1 = x2 + x + 1 chia hết cho: x2 + x + 1
3./ Nếu m; n không đồng thời bằng 0 thì:
Viết \(A=x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x\cdot x^{3m}-x+x^2\cdot x^{3n}-x^2+x^2+x+1.\)
\(A=x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+x^2+x+1\)
\(A=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^n-1\right)+x^2+x+1\)
Áp dụng khẳng định 1 cho m, n tự nhiên > 0 ta có:
\(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x3 - 1. Mà x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)
=> \(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x2 + x + 1
=> A chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m,n là số tự nhiên. đpcm
9 tháng 7 2016
Với m,n là các số tự nhiên ta có \(x^{3m+1}+x^{3n+1}+1=\left(x^{3m+1}-x\right)+\left(x^{3n+2}-x\right)+x^2+x+1\)
Ta thấy:
- \(x^{3m+1}-x=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)\) chia hết cho \(x^3-1\)và vì \(x^3-1\) chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3m + 1) - x chia hết cho x^2 + x + 1.
ii/ x^(3n + 2) - x^2 = x^2[(x^3)^n - 1] chia hết cho x^3 - 1, và vì x^3 - 1 chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3n + 2) - x^2 chia hết cho x^2 + x + 1.
Từ đó suy ra [x^(3m + 1) - x] + [x^(3n + 2) - x^2] + (x^2 + x + 1) chia hết cho x^2 + x + 1, hay x^(3m + 1) + x^(3n + 2) + 1 chia hết cho x^2 + x + 1. Đây là điều phải chứng minh.
15 tháng 11 2018
\(\text{a.Ta có :}\)
\(x^{8n}+x^{4n}+1=x^{8n}+2x^{4n}+1-x^{4n}\)
\(=\left(x^{4n}+1\right)^2-\left(x^{2n}\right)^2\)
\(=\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)\left(x^{4n}+x^{2n}+1\right)\)
\(\text{Ta lại có :}\)
\(x^{4n}+x^{2n}+1=x^{4n}+2x^{2n}+1-x^{2n}\)
\(=\left(x^{2n}+1\right)^2-\left(x^n\right)^2=\left(x^{2n}-x^n+1\right)\left(x^{2n}+x^n+1\right)\)
\(\Rightarrow x^{8n}+x^{4n}+1=\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)\left(x^{2n}-x^n+1\right)\left(x^{2n}+x^n+1\right)\)
\(\Rightarrow x^{8n}+x^{4n}+1⋮x^{2n}+x^n+1\)
9 tháng 3 2017
Bài 272 , 273 Sách nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 trang 71, bài tương tự đấy
21 tháng 9 2017
2)Ta có: \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\)= \(x^{3m+1}-x+x^{3n+2}-x^2+x^2+x+1\)
= \(x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
Ta thấy: \(x^{3m}-1=\left(x^3\right)^m-1=\left(x^3-1\right)k\) \(⋮\) \(x^3-1\)
\(x^{3n}-1=\left(x^3\right)^n-1=\left(x^3-1\right)h\) \(⋮\) \(x^3-1\)
Do đó: \(x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\) chia hết cho \(x^2+x+1\)
Vậy \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\) chia hết cho \(x^2+x+1\)
KB
27 tháng 8 2018
1 ) \(\left(x^2-2x+5\right)\left(x-2\right)=\left(x^2+x\right)\left(x-5\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3-2x^2+5x-2x^2+4x-10=x^3+x^2-5x^2-5x\)
\(\Leftrightarrow x^3-4x^2+9x-10=x^3-4x^2-5x\)
\(\Leftrightarrow9x-10=-5x\)
\(\Leftrightarrow14x=10\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{7}\)
Vậy \(x=\dfrac{5}{7}\)
2 ) \(\left(x-9\right)\left(x-9\right)+\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)-\left(5x-4\right)\left(x-2\right)\)
\(=\left(x-9\right)^2+\left(2x+1\right)^2-\left[5x^2-4x-10x+8\right]\)
\(=x^2-18x+81+4x^2+4x+1-5x^2+4x+10x-8\)
\(=\left(x^2+4x^2-5x^2\right)+\left(4x+4x+10x-18x\right)+\left(81+1-8\right)\)\(=74\)
\(\Rightarrowđpcm\)
3 ) \(\left(2m-3\right)\left(3n-2\right)-\left(3m-2\right)\left(2n-3\right)\)
\(=6mn-9n-4m+6-\left[6mn-4n-9m+6\right]\)
\(=6mn-9n-4m+6-6mn+4n+9m-6\)
\(=9m-9n+4n-4m\)
\(=5m-5n\)
\(=5\left(m-n\right)⋮5\left(đpcm\right)\)
4 tháng 12 2018
Mình chỉ làm mẫu một câu thôi, mấy câu này giống nhau về cách làm :))
a) Thực hiện phép chia đa thức 3n3 + 10n2 - 5 cho đa thức 3n + 1 được thương là n2 + 3n - 1 và dư -4
Vậy để 3n3 + 10n2 - 5 ⋮ 3n + 1 thì -4 ⋮ 3n + 1
=> 3n + 1 thuộc Ư(4) = { 1; 2; 4; -1; -2; -4 }
=> n thuộc { 0; 1/3; 1; -2/3; -1; -5/3 }
Mà n nguyên => n thuộc { 0; 1; -1 }
b) d) tương tự
4 tháng 12 2018
c) hơi khác mình làm nốt
Thực hiện phép chia đa thức x4 - x3 + 6x2 - x + n cho đa thức x2 - x + 5 ta được số dư là n - 5
Để phép chia trên là phép chia hết thì số dư phải bằng 0
=> n - 5 = 0
<=> n = 5
Vậy n = 5
\(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\\ =x^{3m+1}+x^{3n+2}+1-x-x^2+x+x^2\\ =\left(x^{3m+1}-x\right)+\left(x^{3n+2}-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^{3m}-1\right)\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =\left[\left(x^3\right)^m-1\right]\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^3-1\right)S\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =S\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^2+x+1\right)\left[S\left(x-1\right)\left(x+x^2\right)+1\right]⋮\left(x^2+x+1\right)\forall m;n\)