Question

[Vũ tiến đạt]

Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. AM vuông với BD tại M. Chứng minh rằng, KM vuông góc với HM tại M

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Xét ΔABD có

H,O lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>HO là đường trung bình của ΔABD

=>HO//AD và \(HO=\dfrac{AD}{2}\)

\(HO=\dfrac{AD}{2}\)

\(AK=\dfrac{AD}{2}\)

Do đó: HO=AK

Xét tứ giác AHOK có

HO//AK

HO=AK

Do đó: AHOK là hình bình hành

Hình bình hành AHOK có \(\widehat{HAK}=90^0\)

nên AHOK là hình chữ nhật

Gọi N là giao điểm của AO và HK

AHOK là hình chữ nhật

=>AO=HK và AO cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>AO=HK và N là trung điểm chung của AO và HK

=>\(AN=ON=HN=KN=\dfrac{AO}{2}=\dfrac{HK}{2}\left(1\right)\)

ΔAMO vuông tại M

mà MN là đường trung tuyến

nên \(MN=\dfrac{AO}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MN=\dfrac{HK}{2}\)

Xét ΔKMH có

MN là đường trung tuyến

\(MN=\dfrac{HK}{2}\)

Do đó: ΔKMH vuông tại M

=>KM\(\perp\)MH tại M