Cho k\(\in Z\) đặt \(x_k=\frac{3k^2+3k+1}{k^3\left(k+1\right)^3}\)và\(\left(k+1\right)^3-k^3=3k^2+3k+1\)
Rút gọn \(P=x_1+x_2+x_3+...+x_{2018}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ủa đề bài như này là sao bạn? Cho dãy x(k), nhưng lại đi tìm u(n)?
Đề bài có nghĩa là tìm giới hạn dãy:
\(u_n=\sqrt[n]{\left(\dfrac{1}{2!}\right)^n+\left(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}\right)^n+...+\left(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+...+\dfrac{2011}{2012!}\right)^n}\)
Tìm được khá dễ dàng bằng cách sử dụng định lý kẹp
Câu hỏi của Phạm Hữu Nam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo link trên!
Ta có:
\(a_k=\frac{3k^2+3k+1}{\left(k^2+k\right)^3}=\frac{k^3+3k^2+3k+1-k^3}{k^3\left(k+1\right)^3}=\frac{\left(k+1\right)^3-k^3}{k^3\left(k+1\right)^3}=\frac{1}{k^3}-\frac{1}{\left(k+1\right)^3}\)
=> \(a_1=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}\); \(a_2=\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}\); \(a_3=\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}\); ....; \(a_9=\frac{1}{9^3}-\frac{1}{10^3}\)
=> \(1+a_1+a_2+...+a_9=1+1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{9^3}-\frac{1}{10^3}\)
\(2-\frac{1}{10^3}=\frac{1999}{1000}\)
Chị quản lí giúp em bài này nữa ạ
1 Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc ABD=45 độ - \(\frac{gócBAC}{4}\) VẼ DE // CB(E thuộc AB).Chứng minh
a)Tứ giác BEDC là hình thang cân
b) EB=ED
c) CE là phân giác góc C
Chứng tỏ: \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\)
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\)
\(VT=\left(k+1\right)\left[k\left(k+2\right)-k\left(k-1\right)\right]=\left(k+1\right)\left(k^2+2k-k^2+k\right)\)
\(=\left(k+1\right).3k=VP\)
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(\Delta'>0\Leftrightarrow\left(-2\right)^2+1.\left(3k-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow3k+3>0\Leftrightarrow k< -1\)
Vậy k < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với k < -1 phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=2+\sqrt{3k+3}\) và \(x_2=2-\sqrt{3k+3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1.x_2=1-3k\end{matrix}\right.\)
d) \(\left(x_1+x_2\right).3x_1x_2=4.3.\left(1-3k\right)=12-36k\)
\(3k\left(3k+3\right)+12=9k^2+9k+12=9k\left(k+1\right)+12\)
Ta có:
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\\ =k\left(k+1\right)\left[\left(k-2\right)-\left(k-1\right)\right]\\ =k\left(k+1\right)\left[k-2-k+1\right]\\ =k\left(k+1\right)\left\{\left[k+\left(-k\right)\right]+\left(2+1\right)\right\}\\ =k\left(k+1\right).3\\ =3.k\left(k+1\right)\)
Vậy \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\\ =3.k.\left(k+1\right)\)
Ta có:
\(VT=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)
\(=k\left(k+1\right)\left[\left(k+2\right)-\left(k-1\right)\right]\)
\(=k\left(k+1\right)\left[k+2-k+1\right]\)
\(=k\left(k+1\right)\left[\left(k-k\right)+\left(2+1\right)\right]\)
\(=k\left(k+1\right).3\)
\(=3k\left(k+1\right)\)
\(\Rightarrow VT=VP\)
Vậy với \(k\in N\)* thì ta luôn có:
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\) (Đpcm)
Có :
\(3k^2+3k+1=\left(k-1\right)^3-k^3\)
\(\Rightarrow x_k=\frac{3k^2+3k+1}{k^3\left(k+1\right)^3}=\frac{\left(k-1\right)^3-k^3}{k^3\left(k+1\right)^3}=\frac{1}{k^3}-\frac{1}{\left(k+1\right)^3}\)
Áp dụng , ta được :
\(P=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}...+\frac{1}{2018^3}-\frac{1}{2019^3}=1-\frac{1}{2009^3}\)