Question

[Con Gà Gánk Team]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD (D∈AC). Từ D kẻ DH vuông góc với BC.

a) Chứng minh ΔABD = ΔHBD.

b) So sánh AD và DC.

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AB và DH, I là trung điểm của KC. Chứng minh 3 điểm B, D, I thẳng hàng.

Answer 1

[Alice]

a) Xét \(\Delta\)\(\text{ }\text{ABD}\) và \(\text{ΔHBD}\) có

\(\widehat{\text{BAD}}=\widehat{\text{BHD}}=\text{90}^{\text{o}}\)

\(\text{BD}\) là cạnh chung

\(\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{HBD}}\) (do \(\text{BD}\) là tia phân giác của \(\widehat{\text{ABD}}\) )

Vậy \(\text{ΔABD = ΔHBD}\) (cạnh huyền – góc nhọn)

___________________________________________________

b) Từ \(\text{ΔABD = ΔHBD}\) (câu a) suy ra\(\text{ AD = HD}\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\text{ΔDHC}\) vuông tại \(\text{H}\) có \(\text{DC}\) là cạnh huyền nên \(\text{DC}\) là cạnh lớn nhất

Do đó \(\text{DC}\)\(>\text{HD}\) nên \(\text{DC}>AD\) 

________________________________________________________

c) Xét \(\text{ΔBKC}\) có \(\text{CA ⊥ BK, KH ⊥ BC}\) và \(\text{CA}\) cắt \(\text{KH}\) tại \(\text{D}\)

Do đó \(\text{D}\) là trực tâm của \(\text{BKC}\), nên \(\text{BD ⊥ KC (1)}\)

Gọi \(\text{J}\) là giao điểm của \(\text{BD và KC}\)

Xét \(\text{ΔBKJ}\) và \(\text{ΔBCJ}\) có

\(\widehat{\text{BJK}}=\widehat{BJC}=90^o\)

\(\text{BJ}\) là cạnh chung

\(\widehat{\text{KBJ}}=\widehat{\text{CBJ}}\)  (do \(\text{BJ}\) là tia phân giác của \(\widehat{\text{ABD}}\) )

\(\Rightarrow\) \(\text{ΔBKJ = ΔBCJ}\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra\(\text{ KJ = CJ}\) (hai cạnh tương ứng)

Hay \(\text{J}\) là trung điểm của \(\text{KC}\)

theo bài ra : \(\text{I}\) là trung điểm của \(\text{KC}\) nên \(\text{I}\) và \(\text{J}\) trùng nhau.

Vậy \(\text{B, D, I}\) thẳng hàng

Answer 2

[Trần Đình Hoàng Vũ]

??