Cho các số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2\)
CMR: \(x+y+z\le xyz+2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
9 tháng 12 2020
Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\le\frac{2+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\); \(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{2}{z}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\)\(\le3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}=xyz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
29 tháng 9 2017
<=>27xyz=27(x+y+z)+54
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge27\left(x+y+z\right)+54\Rightarrow x+y+z\le6\)
\(4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le12\left(x+y+z\right)=9\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)\le9\left(x+y+z\right)+18=9\left(x+y+z+2\right)\)
\(\Rightarrow4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le9xyz\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\left(Q.E.D\right)\)
PN
29 tháng 9 2017
Từ giả thiết ta đặt ra: \(x+y+z=xyz\Rightarrow xy+yz+zx\ge\sqrt{3}a+b+c\ge9\) *
Ta lại có: \(x^2+5\ge5\sqrt{xyz}\)theo BĐT Cauchy
Từ đó BĐT \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+27\le4xy+yz+zx\Leftrightarrow a+b+c+27\le6\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}p=x+y+z\\q=xy+yz+zx\\r=xyz\end{cases}}\)
Thì ta có: \(p=r\)và cần chứng minh
\(6q\ge p^2+27\Leftrightarrow6pr\ge p^3+27p\)
Theo BĐT Schur thì: \(r\ge\frac{4pq-p^3}{9}\)
Do đó: \(BĐT\Leftrightarrow\frac{8}{3}q^2\ge\frac{3}{2}p^2+27\)
BĐT cuối cùng đúng theo Đk *
P/s: Tham khảo nhé
1 tháng 2 2023
Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :
1(x+1)2+x+18+x+18≥33√164=341(�+1)2+�+18+�+18≥31643=34
=> 1(x+1)2≥34−x+141(�+1)2≥34−�+14 (1)
Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1
CM tương tự ra có " 1(y+1)2≥34−y+141(�+1)2≥34−�+14(2) ; 1(z+1)2≥34−z+141(�+1)2≥34−�+14 (3)
Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1
Từ (1) (2) và (3) => 1(x+1)2+1(y+1)2+1(z+1)2≥34⋅3−x+y+z+341(�+1)2+1(�+1)2+1(�+1)2≥34⋅3−�+�+�+34≥94−33√xyz+34=94−64=34≥94−3���3+34=94−64=34
BĐT được chứng minh
Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1
:()
22 tháng 1 2019
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2xy+2y+2}\)
Chứng minh tương tự,ta có:
\(\frac{1}{y^2+2z^2+3}\le\frac{1}{2yz+2z+2}\)
\(\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2zx+2x+2}\)
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức,ta có được:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
Mặt khác,ta lại có được:
\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\)
\(=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy+y+1}+\frac{y}{xy+y+1}\)
\(=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 8 2021
\(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=9\Rightarrow xy+yz+zx\ge3\)
\(2\left(x^2+y^2\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
Tương tự và nhân vế với vế:
\(VT\ge\dfrac{27}{64}\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\)
Mặt khác ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.3\left(xy+yz+zx\right)^3\ge3^3=27\) (đpcm)
KN
28 tháng 4 2020
Đặt \(\frac{1}{1+x}=a\);\(\frac{1}{1+y}=b\);\(\frac{1}{1+y}=c\). Lúc đó a + b + c = 1
Ta có: \(a=\frac{1}{1+x}\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{\left(a+b+c\right)-a}{a}=\frac{b+c}{a}\)(Do a + b + c = 1)
Tương tự ta có: \(y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{3}{2}\)
Ta đi chứng minh \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)\(\le\frac{3}{2}\)
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)*đúng*
Vậy \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
\(BDT\Leftrightarrow x+y+z-xyz\le2\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right)\right)^2\le\left(x^2+\left(y+z\right)^2\right)\left(\left(1-yz\right)+1\right)\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2+2yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\)
\(=2\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\)do \(x^2+y^2+z^2=2\)
\(=4\left(1-y^2z^2\right)+2\left(1+yz\right)y^2z^2\)
\(=4+2y^2z^2\left(yz-1\right)\le4\) do \(yz\le\frac{y^2+z^2}{2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=1\)
\(\left(x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right)\right)^2\le4\Rightarrow x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right)\le2\)
Hay ta có ĐPCM
câu 3 đề hsg HN 2016-2017