Question

[Uchiha Sasuke]

 Chứng minh rằng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

Với k > 1 , bao giờ ta cũng có 10^k - 1 \(⋮\)19 

suy ra 10^2k - 1 \(⋮\)19

          10^3k - 1 \(⋮\)19

            ...

           10^19k - 1 \(⋮\)19

Vậy : 10^k - 1 + 10^2k - 1 + 10^3k - 1 + ... + 10^19k - 1 \(⋮\)19 

hay ( 10^k + 10^2k + 10^3k + ... + 10^19k ) - 19 \(⋮\)19

do đó 10^k + 10^2k + ... + 10^19k \(⋮\)19

100...0 ( k chữ số 0 )+ 100...0 ( 2k chữ số 0 ) + ... + 100...0 ( 19k chữ số 0 ) \(⋮\)19

Tổng này có 19 số hạng, tổng các chữ số của nó đúng bằng 19

Answer 2

[Doan Huy Duong]

Ta có 19;1919;191919;19.....19 (20 số 9)

Theo nguyên lí Direchlet thì có ít nhất 2 trong số dãy trên có cùng số dư khi chia cho 13 

=> 19....19 (x chữ số 9) - 19....19 (y chữ số 9) chia hết cho 9

=> 19....1900....0 (x-y chữ số 19, y chữ số 0) chia hết cho 19

=> 19...19.10^y (x-y chữ số 19) chia hết cho 19

Vì 10^y và 19 là nguyên tố cùng nhau

=> 19.....19 (x-y chữ số 19) chia hết cho 19

=> Tồn tại 1 bội của số 19 mà gồm toàn chữ số 19 (đpcm)