K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
30 tháng 3 2023

Với \(p=2\) không thỏa mãn, xét với \(p>2\):

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{p+1}{2}=m^2\\\dfrac{p^2+1}{2}=n^2\end{matrix}\right.\) với m; n là các số nguyên dương và \(n>m\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=2m^2-1\\p^2=2n^2-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p^2-p=2n^2-2m^2\)

\(\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(n-m\right)\left(n+m\right)\) (1)

Nếu \(p\le n\Rightarrow n^2+1\ge p^2+1=2n^2\Rightarrow n^2\le1\Rightarrow n=1\Rightarrow p=1\) (ktm)

\(\Rightarrow p>n>m\)

\(\Rightarrow n-m< p\) và \(n+m< 2p\) (2)

Từ (1) \(\Rightarrow2\left(n-m\right)\left(n+m\right)⋮p\), mà \(\left\{{}\begin{matrix}2⋮̸p\\n-m⋮̸p\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n+m⋮p\) (3)

(2);(3) \(\Rightarrow n+m=p\)

Thay vào \(p^2+1=2n^2=2\left(p-m\right)^2\)

\(\Rightarrow p^2-4mp+2m^2-1=0\)

\(\Rightarrow p^2-4mp+p=0\) (do \(2m^2-1=p\))

\(\Rightarrow p-4m+1=0\)

\(\Rightarrow2m^2-4m=0\) (do \(p+1=2m^2\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow p=2m^2-1=7\)

\(\Rightarrow p^2-1=49-1=48⋮48\)

NV
30 tháng 3 2023

Đề bài sai, \(p^2+1\) không chia hết cho 3 với mọi p

\(\Rightarrow p^2+1\) không thể chia hết 48 với mọi p

NV
30 tháng 3 2021

1. 

\(p=2\Rightarrow p+6=8\) ko phải SNT (ktm)

\(\Rightarrow p>2\Rightarrow p\) lẻ \(\Rightarrow p^2\) lẻ \(\Rightarrow p^2+2021\) luôn là 1 số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số

2.

\(a^2+3a=k^2\Rightarrow4a^2+12a=4k^2\)

\(\Rightarrow4a^2+12a+9=4k^2+9\Rightarrow\left(2a+3\right)^2=\left(2k\right)^2+9\)

\(\Rightarrow\left(2a+3-2k\right)\left(2a+3+2k\right)=9\)

\(\Leftrightarrow...\)

30 tháng 3 2021

Em xin cách làm bài 1 ạ 

27 tháng 5 2021

thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc

 

27 tháng 5 2021

Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p

\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).

+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)

+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)

Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).

Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)

Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).

Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.

Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.

Vậy ....