Question

[Nguyễn Tất Đạt]

Đây là 1 bài tập hình trong đề thi học sinh giỏi toán lớp 7:

Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Lấy điểm M thuộc BC (M không trùng với B và C). Phân giác của góc BAM cắt BC tại N. Điểm H thuộc AM sao cho NH vuông góc với AM tại H. Đường thẳng d vuông góc với BC tại C cắt đoạn NH kéo dài tại K.

a)  CMR: AH=AB

b)  CMR: CN>CK

c)  CMR: Góc NAK=45 độ

Answer 1

[Nguyễn Tiến Đạt]

a) Xét tam giác BAN và tam giác HAN:

^ABN=^AHN=90o

AN chung              => Tam giác BAN=Tam giác HAN ( Cạnh huyền góc nhọn)

 ^A1=^A2

=> AH=AB (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Tam giác ABC vuông cân tại B => ^BAC=^BCA=45o. Mà M thuộc BC=> ^MCA=45o

Ta có: ^HMN là góc ngoài của tam giác AMC=> ^HMN > ^MCA (t/c góc ngoài)

^MCA=45o => ^HMN > 45o.

Xét tam giác HNM: ^NHM=90o; ^HMN > 45o => ^HNM < 45o

Mà H thuộc NK=> ^KNC < 45o

Xét tam giác KCN: ^NCK=90o; ^KNC < 45o => ^NKC > 45o = ^KNC < ^NKC

=> CN>CK (đpcm)

c) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với CK tại D.

=> AD//BC. (1)

Mặt khác: AB//CD (2)

Từ (1) và (2) => AD=BC và AB=CD (t/c đoạn chắn). Mà tam giác ABC vuông cân tại B=> AB=BC

=> AD=BC=AB=CD (t/c bắc cầu)

Ta có: AD=AB. Mà AB=AH (CM trên) => AD=AH

Xét tam giác AHK và tam giác ADK:  AK chung

                                                      ^AHK=^ADK=90o    => Tam giác AHK=Tam giác ADK (Cạnh huyền,cạnh góc vuông)

                                                      AH=AD 

=> ^HAK=^DAK (2 góc tương ứng)

Lại có: ^A1=^A2 => ^HAK+^A2 = ^DAK+^A1 = 1/2 ^BAD = 1/2 . 90o = 45o

Mà ^HAK+^A2=^NAK=> ^NAK=45o (đpcm)